Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
с граничным условием
Uk (г) = ык (г + R). (8.49)
Благодаря периодическому граничному условию уравнение (8.48) можно рассматривать как задачу на собственные значения для эрмитова оператора в отдельной элементарной ячейке кристалла. Так как это — задача на собственные значения для фиксированного конечного объема, из общих соображений
1J Лучше сказать, что существование (квази)волнового вектора к — следствие трансля-
ционной симметрии кристалла.— Прим. ред. Уровни электрона в периодическом потенциале
147
следует ожидать, что должно существовать бесконечное семейство решений с дискретными собственными значениями *), которые мы различаем с немощью номера зоны п.
Заметим, что в задачу на собственные значения (8.48) — (8.49) волновой вектор к входит лишь в качестве параметра гамильтониана Hк. Поэтому можно предполагать, что энергия уровней с волновым векторомк меняется непрерывно2 с изменением к. В результате мы приходим к описанию уровней электрона в периодическом потенциале посредством семейства непрерывных 3) функций
w
4. Хотя для полного описания всей совокупности уровней достаточно ограничить область значенийк одной элементарной ячейкой, часто оказывается полезным считать, что волновой вектор к может изменяться по всему ^-пространству, хотя это и дает чрезвычайно избыточное описание. Поскольку для двух значений к, отличающихся друг от друга на вектор обратной решетки, все волновые функции и энергетические уровни совпадают, мы можем приписать уровням индексы птаким образом, чтобы при заданном п собственные состояния и собственные значения представляли собой периодические функции от к в обратной решетке:
1|>п, к + к (г) = г|)„к (г),
^nl k+K. = ^nk-
(8.50)
Таким путем мы приходим к описанию энергетических уровней электрона в периодическом потенциале посредством семейства непрерывных функций f„k [или Шп(к)], каждая из которых имеет периодичность обратной решетки. Эти функции определяют зонную структуру твердого тела.
Совокупность всех электронных уровней, описываемых функцией (к) при фиксированном п, называют энергетической зоной. Происхождение термина «зона» станет ясным в гл. 10. Здесь же мы лишь заметим, что, поскольку каждая функция 8n(k) периодична по к и непрерывна, у нее существуют верхний и нижний пределы, а поэтому все уровни ? „(к) лежат в зоне энергий, расположенных между этими двумя пределами.
5. Можно показать весьма общим образом (см. приложение Д), что на уровне, заданном номером зоны п и волновым вектором к, электрон имеет отличнуку от нуля среднюю скорость, определяемую выражением
Vn (k) = 4- (к).
(8.51)
Это очень интересный результат. Согласно ему, электрон в периодическом потенциале имеет стационарные (т. е. не зависящие от времени) уровни, нахо-
х) Так, задача о свободном электроне в «ящике» постоянных конечных размеров имеет множество дискретных энергетических уровней; нормальные моды колебаний конечной мембраны имеют множество дискретных частот и т. п.
2) Подобное предположение неявно содержится, например, в обычной теории возмущений, которая возможна лишь благодаря тому, что малые изменения параметров гамильтониана приводят к малым изменениям энергий уровней. В приложении Д изменение энергии уровней при малых изменениях к рассчитано в явном виде.
3) То обстоятельство, что в силу граничного условия Борна — Кармана волновой вектор к может принимать лишь дискретные значения вида (8.27), не имеет отношения к непрерывности %п (к) как функции от непрерывной переменной к, поскольку в задачу на собственные значения (8.48) — (8.49) не входит размер всего кристалла и она имеет смысл при любом к. Напомним также, что множество значенийк вида (8.27) становится плотным в &-про-странстве в пределе бесконечного кристалла. •148
Глава 4
дясь на которых он, несмотря на взаимодействие с неподвижной решеткой ионов, продолжает двигаться бесконечно долго, не теряя своей средней скорости. Подобный результат явно противоречит представлению Друде о том, что столкновения представляют собой просто соударения электрона с неподвижными ионами. Его последствия имеют фундаментальное значение и будут рассмотрены в гл. 12 и 13.
ПОВЕРХНОСТЬ ФЕРМИ
Основное состояние N свободных электронов *) строится путем заполнения всех одноэлектронных уровней к с энергиями Ш (к) = Ь?к212т, меньшими ? F, где ?'F определяется из условия, что полное число одноэлектронных уровней с энергиями, меньшими ШF, должно быть равно полному числу электронов (см. гл. 2).
Основное состояние N блоховских электронов строится аналогичным образом, за исключением того, что одноэлектронные уровни теперь задаются квантовыми числами п и к, а Шп (к) уже не определяется простым явным выражением, как в теории свободных электронов; кроме того, если мы хотим учитывать каждый уровень всего один раз, то значения к должны быть ограничены одной элементарной ячейкой обратной решетки. После заполнения низших уровней определенным числом электронов могут получиться конфигурации двух совершенно различных типов.
