Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку тригональные точечные группы могут характеризовать кристаллическую структуру с гексагональной решеткой Бравэ, кристаллограф^ иногда утверждают, что имеет ся всего шесть кристаллических систем. Это происходит потому, что в кристаллографии большее внимание уделяется точечным, а не трансляционным элементам симметрии. Однако если рассматривать точечные группы решетки Бравэ, то несомненно, существуют семь кристаллических систем: точечные группы D3d и D6h обе являются точечными группами решетки Бравэ и не эквивалентны. •134
Глава 4
возникают в тех случаях, когда объект с симметрией данной точечной группы может быть ориентирован в решетке Бравэ несколькими различными способами, из-за чего появляется несколько пространственных групп. Все 73 такие пространственные группы называют ситморфными.
Большинство пространственных групп несимморфны и содержат операции, которые не могут быть построены из трансляций, образующих решетку Бравэ,
и операций точечных групп. Для наличия подобных добавочных операций необходимо существование каких-либо определенных соотношений между размерами базиса и периодами решетки Бравэ. Когда размеры базиса находятся в определенном соотношении с длинами
основных векторов решетки, могут появляться два новых типа операций.
1. Винтовые оси. Кристаллическая структура с винтовой осью переходит в саму себя при трансляции на вектор, не принадлежащий решетке Бравэ, с последующим поворотом вокруг оси, вдоль которой производилась трансляция.
2. Плоскости скольжения. Кристаллическая структура с плоскостью скольжения переходит в саму себя при трансляции на вектор, не принадлежащий решетке Бравэ, с последующим отражением в плоскости, содержащей этот вектор.
Как показано на фиг. 7.8, гексагональная плотноупакованная структура инвариантна относительно этих двух типов операций. Последнее происходит только потому, что расстояние между двумя точками базиса вдоль с-оси в точности равно здесь половине расстояния между плоскостями решетки.
Как международную систему, так и систему Шенфлиса, которые применяются для обозначения пространственных групп в тех редких случаях, когда это необходимо, можно найти, например, в книге Бюргера [1].
ПРИМЕРЫ СРЕДИ ХИМИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
В гл. 4 были перечислены химические элементы, имеющие г. ц. к., о. ц. к. и г. п. у. структуры, а также структуру типа алмаза. Более 70% всех элементов относится к этим четырем классам. Остающиеся элементы обладают самыми различными кристаллическими структурами, в основном с полиатомными элементарными ячейками, которые иногда бывают довольно сложными. В заключение настоящей главы в табл. 7.5 — 7.7 мы перечисляем ряд других примеров. Данные взяты из справочника Уикоффа [2] и соответствуют комнатной температуре и нормальному атмосферному давлению, если не оговорено иное.
© ©
(D(Dd)
© © ©
(D(D QG)
® ® ® ® © © © © © © © ©
Фнг. 7.8. Гексагональная плотноупакованная структура при наблюдении вдоль с-оси.
Атомные плоскости, перпендикулярные с-оси, находятся на расстоянии с/2 друг от друга и содержат поочередно точки типа і и точки типа 2. Прямая, параллельная с-оси и проходятдая через черную точку в центр:' фигуры, является винтовой осью: изображенная структура инвариантна относительно параллельного переноса (трансляции) на с/2 вдоль этой оси с последующим поворотом на 60° (но не инвариантна в отношении такого поворота или трансляции по отдельности). Плоскость, параллельная с-оси и пересекающая чертеж по пунктирной линии, является плоскостью скольжения: структура инвариантна относительно параллельного переноса на с/2 вдоль с-оси с последующим отражением в плоскости скольжения (но не инвариантна относительно такого переноса или отражения по отдельности). Таблица 7.5
Элементы с ромбоэдрическими (тригональными) решетками Бравэ а)
Число атомов
Элемент а, А 8 в элементарной Базис
ячейке
Hg (5 К) 2,99 70°45' 1 Z = O
As 4,13 54°10' 2 X= +0,226
Sb 4,51 57°6' 2 X= +0,233
Bi 4,75 57°14' 2 X= ±0,237
Sm 9,00 23°13' 3 X = 0, ±0,222
) Здесь а — длина основных векторов, 0 — угол между любыми двумя из них. Во всех случаях выражение, связывающее координаты точек базиса с векторами, имеет вид х (аі+а2+аз). Отметим (см. задачу 2, п. «б»), что решетки мышьяка, сурьмы и висмута очень близки к простой кубической решетке и получаются из нее путем растяжения вдоль пространственной диагонали.
Элементы с тетрагональными решетками Бравэ а) Таблица 7.6
Элемент а, А с, А Базис
In 4,59 4,94 В гранецентрированных позициях условной
ячейки
11 1 3 111
Sn (белое) 5,82 3,17 В точках с координатами ООО, O^j, ^O--, -557;
^t iLl ft LJ I—
по отношению к осям условной ячейки
) Два перпендикулярных основных вектора имеют длину о, длина третьего вектора, перпендикулярного им, равна с. Оба элемента имеют центрированную тетрагональную решетку Бравэ. индий с одноатомным, а белое олово с двухатомным базисами. Однако обычно для их описания используют простую тетрагональную решетку Бравэ с базисом. Условную ячейку для индия выбирают таким образом, чтобы подчеркнуть, что он имеет слегка деформированную (вдоль ребра куба) г. ц. к. структуру. Структуру белого олова можно рассматривать как структуру типа алмаза, сжатую вдоль одной из осей куба.
