Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
OP (г + NiHi) = ар (г), і = 1,2,3. (8.22)
Здесь аг — тройка основных векторов, а все Ni — целые числа порядка А1/3, где N = N1N2Ns — полное число элементарных ячеек в кристалле.
Как и в гл. 2, принимая это граничное условие, мы предполагаем, что объемные свойства твердого тела не зависят от выбора граничных^условий, которые поэтому могут быть продиктованы соображениями удобства вычислений.
Применяя к граничному условию (8.22) теорему Блоха (8.6), находим
гр,lk (г + ATiai) = CijV-'aHpnk (г), i = l, 2, 3 (8.23)
и, таким образом,
eiNik"xi = l, 1 = 1, 2, 3. (8.24) Если к имеет вид (8.20), то из равенства (8.24) следует, что
е2лі АГ,*| = 1; (825)
следовательно, должно выполняться условие
xI = -Jt-I ті — целое. (8.26) Уровни электрона в периодическом потенциале
143
Поэтому разрешенный блоховский волновой вектор должен иметь следующий общий вид х):
3
k = 2 "^T Ьг, Ші — целое. (8.27)
i=i 1
Из (8.27) следует, что объем Ak в ^-пространстве, приходящийся на одно разрешенное значение к, равен объему маленького параллелепипеда с ребрами b J N1:
Поскольку bi -(b2 X b3) есть объем элементарной ячейки обратной решетки, формула (8.28) означает, что число разрешенных волновых векторов, содержащихся в одной элементарной ячейке обратной решетки, равно числу ячеек в кристалле.
Объем элементарной ячейки обратной решетки равен (2я)3/і>, где v = VlN — объем элементарной ячейки прямой решетки. Следовательно, формулу (8.28) можно записать в другой форме:
(8.29)
Это совпадает с результатом (2.18), который был нами получен в случае свободных электронов.
ВТОРОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ БЛОХА2)
Второе доказательство теоремы Блоха демонстрирует ее значение с несколько иной точки зрения, которая получит дальнейшее развитие в гл. 9. Заметим прежде всего, что любую функцию, подчиняющуюся граничному условию Борна — Кармана (8.22), можно разложить по набору всех плоских волн, удовлетворяющих этому граничному условию и имеющих поэтому волновые векторы вида (8.27) 3)
(Г)=» S Cqei-IT. (8.30)
ч
Поскольку потенциал U (г) имеет периодичность решетки, в его разложение по плоским волнам будут входить только плоские волны с периодичностью решетки, поэтому их волновые векторы являются векторами обратной решетки 4)
*) Заметим, что условие (8.27) сводится к условию (2.1(5), используемому в теории свободных электронов, если решетка Бравэ — простая кубическая и а; — основные векторы кубическей решетки, a N1 = N2= N3 = Lla.
-) Второе доказательство, хотя оно и элементарнее первого, более громоздко и представляет интерес главным образом в качестве исходной точки для расчетов в гл. 9. Поэтому в настоящий момент читатель может его пропустить.
3) В дальнейшем, если специально не оговорено иное, под суммированием no к понимается суммирование по векторам вида (8.27), разрешенным граничным условием Борна — Кармана.
4) Когда индекс суммирования обозначен через К, то всегда предполагается, что суммирование ведется по всем векторам обратной решетки. •144
Глава 4
Фурье-коэффициенты Uк связаны с U (г) соотношением *)
?/к = 4" j dre~iK rU (г). (8.32)
(По ячейке)
Поскольку мы всегда можем изменить потенциальную энергию на аддитивную постоянную величину, выберем эту величину так, чтобы пространственное среднее значение U0 потенциала, взятое по одной элементарной ячейке, обращалось в нуль:
f/0 = v f dxU (г) = 0. (8.33)
(По ячейке)
Заметим, что поскольку потенциал U (г) действителен, из (8.32) следует« что его фурье-компоненты удовлетворяют соотношению
U-K = US. (8.34)
Пусть кристалл обладает центром инверсии 2), и, следовательно, при надлежащем выборе начала отсчета U (г) = U (—г); тогда (8.32) означает, что Uk — действительная величина, и поэтому
U-H = Uji = Uti (для кристаллов с центром инверсии). (8.35)
Теперь подставим разложения (8.30) и (8.31) в уравнение Шредингера (8.2). Член с кинетической энергией дает
StV^=2-? . (8-36)
q
Член с потенциальной энергией может быть записан в форме •)
Щ = ( S UKeiK-r) (2 Cqeiq-') = 2 ?/KCqe'(K+q).r = 2 t/KCq'-Ke«"'". (8.37)
K q Kq Kq' X '
Заменим обозначения индексов суммирования К и q' в (8.37) на К' и q; тогда уравнение Шредингера принимает вид
2 еіч •Г { ( - g) cO + ^ Cq - к.} = о. (8.38)
q
Поскольку плоские волны, удовлетворяющие граничному условию Борна — Кармана, образуют ортогональный набор, коэффициент при каждом слагаемом в (8.38) должен быть равен нулю *), поэтому для всех разрешенных волновых векторов q получаем
К'
(8.39)
*) См. приложение Г, где обсуждается значение обратной решетки при разложении в ряд Фурье периодических функций.
2) Предлагаем читателю провести рассуждения настоящей главы (и гл. 9), не используя предположения о симметрии относительно инверсии, которое сделано исключительно для того, чтобы избежать несущественных технических усложнений.
3) Убедиться в справедливости последнего равенства в (8.37) можно, если сделать подстановку К -J- q = q' и заметить, что, поскольку К — вектор обратной решетки, суммирование по всем векторам q, имеющим форму~(8.27), эквивалентно суммированию по всем векторам q', имеющим такую же форму.
