Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку -фг и TjJr представляют собой два независимых решения уравнения Шредингера для случая одного барьера, соответствующие одинаковой энергии, любое другое
J) Замечание. В этой задаче К является непрерывной переменной и не имеет никакого отношения к обратной решетке. •154
Глава 4
решение для той же энергии будет их линейной комбинацией1): г|) = Atyl + Bijir. В частности, поскольку гамильтониан кристалла в области —а/2 ^ х ^ а/2 совпадает с гамильтонианом отдельного иона, любое решение уравнения Шредингера для кристалла, отвечающее энергии %, должно быть в этой области линейной комбинацией функций % и г|>г:
ф (X) = Лг|>,(*) + В^г(х), -± < г < ± (8.67)
Учтем также, что в соответствии с теоремой Блоха функцию можно выбрать таким образом, чтобы для некоторого к выполнялось соотношение
г|)(* + а) = е«"»г|>(*). (8.68)
Дифференцируя (8.68), находим также, что производная = dtyldx должна удовлетворять условию
(*+а) = е«"»г|)' (х). (8.69)
а) Налагая условия (8.68) и (8.69) при х = — а/2 и используя формулы (8.65)—(8.67), покажите, что энергия блоховского электрона связана с его волновым вектором к следующим образом:
coska = J^ ^ (8.70)
Убедитесь, что это приводит к правильному результату в случае свободных электронов
(V = 0).
Уравнение (8.70) становится более содержательным, если воспользоваться некоторой дополнительной информацией о коэффициентах прохождения и отражения. Запишем для этого комплексное число t через его амплитуду и фазу:
t = \t\j\ (8.71)
Действительное число б называют фазовым сдвигом, поскольку оно характеризует изменение фазы прошедшей волны относительно падающей. Из условия сохранения электронов следует, что сумма вероятностей прохождения и отражения должна быть равна единице:
1 = И I2 + I г I2. (8.72)
Это и ряд других полезных утверждений могут быть доказаны следующим образом. Пусть (J)1 и ф2 — два решения уравнения Шредингера в случае одного барьера, соответствующие одинаковой энергии:
-^-+^ = ?%,, f-1,2. (8.73)
Определим величину W (<plt ф2) («вронскиан») следующим образом:
ИФі, Ф2)-=Ф'1(Х)Ф2(х)-Ф1(Х)ФІ(Х). (8.74)
б) Докажите, что w не зависит от хш, для этого выведите из (8.73) равенство dw/dx = 0.
в) Докажите соотношение (8.72), вычислив для этого величину w г)^) при х ^ —а/2 и X а/2 и заметив, что, поскольку v (х) — действительная величина, г|>* будет решением того же самого уравнения Шредингера, как и
г) Вычислив W (%, i|)*), докажите, что rt* является чисто мнимой величиной и поэтому величина г должна иметь вид
г = ± і ir\eio, (8.75)
где фаза б — та же, что в (8.71).
д) Покажите в качестве следствия формул (8.70), (8.72) и (8.75), что энергия и волновой вектор блоховского электрона связаны между собой следующим образом:
-і '—- — cos ka, % = ¦-
2m
(8.76)
Поскольку I t I всегда меньше единицы, но стремится к ней в пределе больших К (барьер становится все менее эффективным с ростом энергии падающего электрона), левая часть
1J Здесь мы имеем частный случай общей теоремы, согласно которой линейное диф-
ференциальное уравнение га-го порядка имеет п независимых решений. Уровни электрона в периодическом потенциале
155
выражения (8.76), рассматриваемая как функция от К, обнаруживает поведение, представленное на фиг. 8.6. Для данного к разрешенные значения К [и, следовательно, разрешенные энергии g (к) = й2 А"2/2т] определяются пересечениями кривой на фиг. 8.6 с горизонтальной линией, проведенной на высоте cos (ка). Заметим, что значения К, расположенные вблизи тех, в которых выполняется условие
Ka + б = ил, (8.77)
дают I cos (Ка + 5) I'l t | > 1, поэтому они не являются разрешенными ни при каком к. Соответствующие области энергий представляют собой запрещенные зоны. Если б — огра-
Фиг. 8.6. Характерный вид функции cos (Ка + б)/| t |. Поскольку I t (К) I всегда меньше единицы, в окрестностях точек, являющихся решениями уравнения Iia -f- ft (К) = ил, эта функция превышает по абсолютной величине единицу. Уравнение (8.76) может выполняться для действительного h в том и только в том случае, когда данная функция по абсолютной величине меньше единицы. Следовательно, существуют области разрешенных (светлые) и запрещенных (заштрихованные) значений К (им соответствуют области ё «= ЪгКЧ2т). Заметим, что, когда значение | і I очень близко к единице (слабый потенциал), запрещенные области будут очень узкими, а когда значение | 1 I очень мало (сильный потенциал), узкими будут разрешенные области
ниченная функция от К (как это обычно бывает), то существует бесконечно много областей запрещенной энергии, а также бесконечно много областей разрешенных значений энергии при каждом значении к.
е) Предположим, что барьер является очень слабым (т. е. что | t | я; 1, | г | a О, б ж 0). Покажите, что в этом случае энергетические щели очень узки, а ширина щели со-дерщажей К = ля/а, равна
S2
«В.р«2яв ^rIrI. (8.78)
ж) Предположим, что барьер очень сильный, так что | f | ж 0, | г | ж 1. Покажите тогда, что разрешенные зоны энергий очень узки и имеют ширину
