Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
"Sma1-Smln = O(M). (8.79)
з) В качестве конкретного примера часто рассматривают случай, когда v (х) = go (х), гдЄ| б (х) — дельта-функції я Дирака (частный случай «модели Кронига—Пенни»), Покажите, что тогда
ctgU I = Cos б. (8.80)
Подобная модель представляет собой наиболее часто встречающийся в учебниках пример одномерного периодического потенциала. Обратите, однако, внимание на то, что основные полученные нами выводы не зависят от конкретного вида функциональной зависимости I и б от К.
2. Плотность уровней
а) В случае свободных электронов плотность уровней при энергии Ферми может быть записана в виде (2.64): g(&F) = ткр'Н2л2. Покажите, что общее выражение (8,63) прини- •156
Глава 4
мает такой вид, если <sn(k) = h2k2/2m и (сферическая) поверхность Ферми целиком лежит в пределах одной элементарной ячейки.
б) Рассмотрим зону, в которой для достаточно малых к выполняется соотношение' <sn(k) = Ш0 + (Й2/2) (кх/тх + ку/тпу кУтг), где тх, ту, тг — положительные постоянные (что может иметь место в случае кристалла с ромбической симметрией). Покажите, что если энергия Щ достаточно близка к Jg0, так что Щп(к) имеет указанный вид, то величина gn(&) пропорциональна (g — So)1^2 и поэтому ее производная стремится к бесконечности (особенность ван Хова), когда $ приближается к минимуму зоны.
[Указание. Используйте выражение (8.57) для плотности уровней.] Выведите отсюда, что если квадратичное выражение для <fn(k) остается справедливым вплоть до <gF, то gn($F) можно записать в форме, которая представляет собой очевидное обобщение результата (2.65), полученного для свободных электронов:
(8.81)
где п — вклад электронов этой зоны в полную плотность электронов.
в) Рассмотрим плотность уровней в окрестности седловой точки, где &n(k) = 'S0 + + (h2/2) (kx'mx + ку/ту — kVmz) и тх, ту, тг — положительные постоянные. Покажите, что при <g ж Jg0 производная от плотности уровней имеет вид
(?(8) «const,
»(So-Srv",
ЛИТЕРАТУРА
1. Park D., Introduction to the Quantum Theory, McGraw-Hill, New York, 1964, p. 123.
2. Weinreich G., Solids, Wiley, New York, 1965, pp. 73 — 79.
2 %f—^n ГЛАВА 216
ЭЛЕКТРОНЫ В СЛАБОМ ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ И СЛАБЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ УРОВНИ ЭНЕРГИИ ВБЛИЗИ ОДНОЙ ИЗ БРЭГГОВСКИХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРИМЕРЫ СХЕМ РАСШИРЕННЫХ, ПРИВЕДЕННЫХ И ПОВТОРЯЮЩИХСЯ ЗОН В ОДНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ ПОВЕРХНОСТЬ ФЕРМИ И ЗОНЫ БРИЛЛЮЭНА ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СТРУКТУРНЫЙ ФАКТОР СПИН-ОРБИТАЛЬНАЯ СВЯЗЬ
В случае слабого периодического потенциала удается составить достаточно полное представление о структуре электронных энергетических уровней. Раньше такой подход можно было рассматривать как упражнение, хотя и поучительное, но представляющее лишь чисто академический интерес. Сегодня, однако, мы знаем, что во многих случаях это явно нереалистическое допущение дает тем не менее поразительно точные результаты. Современные теоретические и экспериментальные исследования металлов, относящихся к I—IV группам периодической таблицы (это металлы, у которых в атомной конфигурации имеются S- и р-электроны, расположенные над конфигурацией заполненных оболочек инертных газов), показывают, что в них для описания движения электронов проводимости можно использовать почти постоянный потенциал. Такие элементы часто называют металлами с «почти свободными» электронами. Отправной точкой при их описании служит газ свободных электронов Зоммерфельда, свойства которого изменены из-за присутствия слабого периодического потенциала. В настоящей главе в рамках модели почти свободных электронов будут исследованы общие черты зонной структуры. Примеры применения к конкретным металлам рассмотрены в гл. 15.
Ответ на вопрос, почему в этих металлах зоны проводимости должны так сильно напоминать зоны свободных электронов, совсем не очевиден. Существуют две основные причины того, почему сильное взаимодействие электронов проводимости между собой и с положительно заряженными ионами приводит к суммарному эффекту, описываемому слабым потенциалом.
1. Взаимодействие между электронами и ионами наиболее сильно на малых расстояниях. Однако принцип Паули запрещает электронам проводимости появляться по соседству с ионами, поскольку эта область уже занята электронами ионного остова.
2. В той области, которая разрешена для электронов проводимости, они благодаря своей подвижности дополнительно уменьшают суммарный потенциал, действующий на отдельный электрон, поскольку они могут экранировать поля положительно заряженных ионов, уменьшая тем самым полный эффективный потенциал. •158
Глава 4
Эти замечания лишь показывают, почему последующее рассмотрение имеет широкую практическую применимость. К проблемам обоснования приближения почти свободных электронов мы вернемся позднее: в гл. 11 будет обсуждаться первая из названных причин, а в гл. 17 — вторая.
ОБЩИЙ ПОДХОД К УРАВНЕНИЮ ШРЕДИНГЕРА В СЛУЧАЕ СЛАБОГО ПОТЕНЦИАЛА
Когда ^периодический потенциал равен нулю, решения уравнения Шредингера представляют собой плоские волны. Разумной исходной точкой при рассмотрении слабых периодических потенциалов может поэтому служить разложение точного решения по плоским волнам, описанное в гл. 8. Волновую функцию блоховского уровня с квазиимпульсом к можно записать в форме (8.42)
