Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Независимые электроны, каждый из которых подчиняется одноэлектрон-ному уравнению Шредингера с периодическим потенциалом, называют блохов-скими (в отличие от «свободных», к которым блоховскпе электроны сводятся, если периодический потенциал тождественно равен нулю). Из периодичности потенциала U вытекает одно очень важное свойство стационарных состояний блоховских электронов.
ТЕОРЕМА БЛОХА
Теорема '). Собственные состояния гр одноэлектронного гамильтониана H = -H2VzIZm + U (г), где U (г -f R) = U (г) при всех R пз решетки Бравэ, могут быть выбраны так, чтобы их волновые функции имели форму плоской волны, умноженной на функцию с периодичностью решетки Браьо, т. е.
^Tlk (г) :
oik • г
'tUnk (Г),
где
(8.3)
(8.4)
Unk (г + R) = Unk (г)
для всех R, принадлежащих решетке Бравэ 2).
Заметим, что из (8.3) и (8.4) следует равенство
¦ф/ik (г + R) — ?ік'Кфпк (г). (8.5)
Иногда теорему Блоха формулируют иначе: собственные состояния тр оператора H можно выбрать таким образом, чтобы с каждым из них был связан некоторый волновой вектор к и для любого R в решетке Бравэ выполнялось равенство 3)
¦ф (г +R) =eik-Ri|3(r).
(8.6)
Мы приводим два доказательства теоремы Блоха, одно из которых основано на общих квантовомеханических соображениях, а в другом используется явное построение 4).
ПЕРВОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ БЛОХА
Определим для каждого вектора R решетки Бравэ оператор трансляции Tr, под действием которого аргумент любой функции / (г) сдвигается на R:
__7н/(г) = /(г + К). (8.7)
1J В одномерном случае эту теорему впервые доказал Флоке, поэтому для одномерного случая ее часто называют теоремой Флоке.
2) Здесь п называют номером зоны. Его появление св?язано с тем, что при фиксированном к, как будет показано ниже, имеется много независимых собственных состояний.
3I Из формулы (8.6) следуют соотношения (8.3) и (8.4), поскольку она требует, чтобы функция и (г) = ехр ( — ik-г) (г) обладала периодичностью решетки Бравэ.
4) Первое доказательство основано на некоторых формальных результатах квантовой механики. Второе более элементарно, но в то же время и более громоздко. Уровни электрона в периодическом потенциале 141
В силу периодичности гамильтониана имеем
TrHx= H (г -f R) ф (г + R) = H (г) ф (г + R) = HTRty. (8.8)
Поскольку уравнение (8.8) выполняется тождественно для любой функции г|), справедливо следующее операторное тождество:
TrH = HTr. (8.9)
Далее, результат двух последовательных трансляций не зависит от порядка их применения, поскольку для любой функции г|з (г) имеем
TrTr^ (г) = Tr-Tr^ (Г) = ip (г + R + R')- (8.10)
Поэтому
^rTV = ^R'^R = ^R + R' • (8.11)
Соотношения (8.9) и (8.11) показывают, что гамильтониан H и операторы Tr для всех векторов R решетки Бравэ образуют набор коммутирующих операторов. Из фундаментальной теоремы квантовой механики *) следует, что тогда собственные состояния гамильтониана H можно выбрать таким образом, чтобы они одновременно являлись собственными состояниями всех операторов Tr:
Hty =Jflf,
Гиф = с (R) я|з. (8.12)
Собственные значения с (R) операторов трансляции связаны между собой в силу условия (8.11), поскольку, с одной стороны,
Tr-Tr^ = с (R) TR.q = с (R) с (R') ?, (8.13)
тогда как, согласно (8.11),
TVT^ = TVr ^ = с (R + R')>. (8.14)
Следовательно, для собственных значений должно выполняться равенство
с (R + R') = с (R) с (R'). (8.15)
Пусть теперь а,- — три основных вектора решетки Бравэ. Мы можем всегда записать с (а,-) в виде
с(а<) = Є2я11', (8.16)
выбрав соответствующим образом величины Xi 2). Последовательное применение соотношений (8.15) показывает, что для произвольного вектора R решетки Бравэ, задаваемого выражением
R = ^a1 + п2а2+га3а3, (8-17)
справедливо равенство
c(R) = c (H1)niC (a8)n,c(as)n\ (8.18)
*) См., например, учебник Парка [1].
2) Мы увидим, что при определенных граничных условиях X1 оказываются действительными, однако пока будем считать эти величины произвольными комплексными числами. [Можно сделать вывод о том, что к — действительный вектор, не обращаясь к граничным условиям, а рассматривая бесконечный кристалл. Только при действительных волновых векторах функция т|з(г), удовлетворяющая условию Блоха (8.21), не стремится к бесконечности с ростом R.— Прим ред.] •142
Глава 4
Но это равенство в точности эквивалентно равенству
c(R) = eik-R, (8.19)
где
k = Zjb1 + х2Ь2 + х3Ь3 (8.20)
и Ь; — векторы обратной решетки, удовлетворяющие соотношению (5.4): Ьг -ay = 2лбг-^.
Итак, мы показали, что собственные состояния гр гамильтониана H можно выбрать таким образом, чтобы для каждого вектора R решетки Бравэ выполнялось равенство
7Vl> = Tp (г + R) = С (R) Яр = eik'RT|: (г). (8.21)
Но это как раз и есть теорема Блоха в формулировке (8.6).
ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ БОРНА—КАРМАНА
Налагая на волновые функции соответствующее граничное условие, можно показать, что волновой вектор к должен быть действительным, и получить условие, которому должны удовлетворять разрешенные значения к. Обычно выбирается граничное условие, представляющее собой естественное обобщение условия (2.5), используемого для кубического «ящика» в теории свободных электронов Зоммерфельда. Как и в том случае, мы вводим в теорию «ящик», в который помещены электроны, и накладываем граничные условия Борна — Кармана (см. стр. 46), т. е. требование макроскопической периодичности. Если решетка Бравэ не является кубической и сторона куба L не равна-целому числу постоянных решетки а, то выбор кубического «ящика» со стороной L не дает никаких преимуществ. Вместо этого гораздо удобнее работать с «ящиком», соразмерным элементарной ячейке соответствующей решетки Бравэ. Поэтому мы обобщим периодическое граничное условие (2.5), записав его в форме
