Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
2. Wyckoff R. W. G., Crystal Structures, Interscience, New York, 1963. ГЛАВА 8
УРОВНИ ЭЛЕКТРОНА В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОТЕНЦИАЛЕ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА
ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ И ТЕОРЕМА БЛОХА ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ БОРНА — КАРМАНА ВТОРОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ БЛОХА ПОВЕРХНОСТЬ ФЕРМИ ПЛОТНОСТЬ УРОВНЕЙ И ОСОБЕННОСТИ BAH XOBA
Ионы в идеальном кристалле расположены таким образом, что образуют регулярную периодическую структуру. Поэтому нам необходимо рассмотреть задачу об электроне в потенциале U (г), который имеет периодичность решетки Бравэ, лежащей в основе этой структуры, т. е. удовлетворяет условию
U (г + R) = U (г) (8.1)
для всех векторов R, принадлежащих решетке Бравэ.
Поскольку характерный период потенциала U (~10~8 см) совпадает по порядку величины с типичной длиной волны де Бройля электрона в модели свободных электронов Зоммерфельда, для учета влияния периодичности на движение электронов следует пользоваться квантовой механикой. В этой главе рассмотрены свойства электронных уровней, зависящие лишь от периодичности потенциала и безразличные к его точному виду. Обсуждение будет продолжено в гл. 9 и 10. где мы обращаемся к двум предельным случаям, которые представляют большой физический интерес и могут служить более конкретными примерами применения результатов настоящей главы. В гл. 11 кратко описаны некоторые из методов, используемых при детальном расчете электронных уровней. В гл. 12 и 13 обсуждается значение полученных результатов для задач теории электронных явлений переноса, с которыми мы уже встречались в гл. 1 и 2; мы увидим, какое большое число противоречий теории свободных электронов (гл. 3) удается устранить с их помощью. В гл. 14 и 15 исследуются свойства конкретных металлов, иллюстрирующие и подтверждающие общую теорию.
С самого начала следует подчеркнуть, что полная периодичность — это идеализация. Реальные твердые тела никогда не бывают абсолютно чистыми а по соседству с примесным атомом свойства твердого тела оказываются иными, чем в остальном кристалле. Кроме того, всегда существует небольшая зависящая от температуры вероятность обнаружения отсутствующих или неправильно расположенных атомов (гл. 30), что нарушает идеальную трансляционную симметрию даже абсолютно чистого кристалла. Наконец, ионы в действительности не неподвижны, а все время совершают тепловые колебания вокруг своих положений равновесия.
То есть всегда содержат примеси.— Прим. ред. Уровни электрона в периодическом потенциале
139
Все такие нарушения идеальной периодичности очень важны. Например, именно они в конечном счете объясняют, почему электропроводность металла не бесконечна. При построении теории, однако, выгоднее искусственно разбить задачу на две части: а) рассмотрение гипотетического идеального кристалла с абсолютно периодическим потенциалом и б) изучение влияния на свойства этого кристалла всевозможных отклонений от полной периодичности, которые рассматриваются как малые возмущения.
Необходимо также подчеркнуть, что задача о поведении электронов в периодическом потенциале возникает не только при изучении металлов. Большинство наших общих выводов применимо ко всем кристаллическим твердым телам и будет играть важную роль при последующем рассмотрении диэлектриков и полупроводников.
ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ |
Задача об электронах в твердом теле в принципе представляет собой многоэлектронную задачу, поскольку полный гамильтониан твердых тел содержит не только одноэлектронные потенциалы, описывающие взаимодействие электронов с массивными атомными ядрами, но и парные потенциалы, описывающие
Фиг. 8.1. Типичный кристаллический периодический потенциал, изображенный вдоль линии местонахождения ионов п вдоль линии, проходящей посередине между плоскостями
IIOHOB.
Черные кружки — равновесные положения ионов, сплошные кривые — потенциал вдоль линии ионов, точечная кривая — потенциал вдоль линии между плоскостями ионов, а штриховые кривые — потенциал
отдельных изолированных ионов.
взаимодействие между электронами. В приближении независимых электронов это взаимодействие учитывается с помощью эффективного одноэлектронного потенциала U (г). Проблема наилучшего выбора такого эффективного потенциала довольна сложна; к пей мы вернемся в гл. 11 и 17. Здесь же мы просто заметим, что какой бы ни была конкретная форма эффективного одноэлектронного потенциала, в случае идеально периодического кристалла этот потенциал должен удовлетворять условию (8.1). Только одно это обстоятельство позволяет получить много важных выводов.
Исходя из качественных соображений, можно примерно представить вид типичного кристаллического потенциала: вблизи иона он должен напоминать потенциал отдельного атома и выравниваться в области между ионами (фиг. 8.1). •140
Глава 4
Итак, нам необходимо изучить те общие свойства одноэлектронного уравнения Шредингера
+ (8-2)
которые обусловлены периодичностью (8.1) потенциала U. Уравнение Шредингера для свободных электронов (2.4) представляет собой частный случай уравнения (8.2) (хотя, как мы увидим, и весьма патологический в некотором отношении), поскольку нулевой потенциал можно считать простейшим примером периодического потенциала.
