Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ашкрофт Н. -> "Физика твердого тела. Том 1" -> 86

Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.

Ашкрофт Н. , Мермин Н. Физика твердого тела. Том 1 — М.: Мир, 1979. — 458 c.
Скачать (прямая ссылка): fizikatverdogotela1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 203 >> Следующая


4) В этом можно убедиться также исходя из равенства (Г. 12) (см. приложение Г), если умножить уравнение (8.38) на соответствующую плоскую волну и проинтегрировать по объему кристалла. Уровни электрона в периодическом потенциале

145

Удобно записать q в форме q = к — К, где К — вектор обратной решетки, выбранный таким образом, чтобы вектор к лежал в первой зоне Бриллюэна. Уравнение (8.39) тогда примет вид

(-?- (к - К)2- Ш) ck_K = 2 uK-Ck-K-K' = о, (8.40)

К'

или, если сделать замену переменных К' —»- К' — К,

(8.41)

Подчеркнем, что (8.39) и (8.41) представляют собой всего лишь новую форму записи исходного уравнения (8.2) в импульсном пространстве, которая оказывается более простой из-за того, что в силу периодичности потенциала коэффициенты ?/ь отличны от нуля лишь для тех к, которые являются векторами обратной решетки.

При фиксированном к из первой зоны Бриллюэна система уравнений (8.41) при любом значении вектора обратной решетки К связывает между собой только коэффициенты Ck, Ck~K> Ck-K'і Ck-K11 • • Ч У которых волновые векторы отличаются от к на один из векторов обратной решетки. Следовательно, исходная задача распалась на N независимых задач — для каждого разрешенного значения к в первой зоне Бриллюэна. Каждая такая задача имеет решение, которое является суперпозицией плоских волн, содержащих только волновой вектор к и волновые векторы, отличающиеся от к на какой-либо вектор обратной решетки.

Используя полученные результаты, вернемся к разложению (8.30) волновой функции ojj. Мы видим, что волновой вектор q принимает лишь значения k, k — К', к — К", . . ., а волновая функция имеет следующий вид:

"Фк = 2 ск-кеі(к"к),г. (8.42)

Если переписать это выражение как

(г) = eik'r (V Ck_Ke-iK-r) , (8.43)

то видно, что функция имеет блоховскую форму (8.3), причем периодическая функция и (г) дается выражением 1)

u(r) = 2ck-Ke-iK". (8.44)

ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ТЕОРЕМЕ БЛОХА

1. Теорема Блоха вводит в теорию волновой вектор к, который играет в общей задаче о движении в периодическом потенциале такую же роль, какую играет волновой вектор к свободного электрона в теории Зоммерфельда. Заметим, однако, что в то время как для свободных электронов волновой вектор равен р/Й, где р — импульс электрона, в блоховском случае волновой вектор к пе пропорционален импульсу электрона. Это ясно ,из общих соображений, так как гамильтониан в присутствии неоднородного потенциала не обладает полной

(-?¦ (k-K)2-if) Ck-K+ St7K--KCk-K- = O.

К'

1J Заметим, что при фиксированном к существует (бесконечно) много решений (бесконечной) системы уравнений (8.41). Для их перечисления используют номер зоны п (см. примечание 2 на стр. 140). •146

Глава 4

трансляционной инвариантностью, поэтому его собственные состояния не являются одновременно собственными состояниями оператора импульса. Подобный вывод подтверждается и тем, что, подействовав оператором импульса р = (Hli)V на г|з„к, получаем

Y V^nk =Iv (eik-runk (г)) = Йкг|>пк + е"» A Vwnk (г); (8.45)

последнее выражение, вообще говоря, не имеет вида const -tlw, следовательно, \|5„к не является собственным состоянием оператора импульса.

Тем не менее часто Tik служит естественным обобщением импульса р на случай периодического потенциала. Чтобы подчеркнуть сходство и указать на отличие /гк от истинного импульса, эту величину называют кеазиимпулъсом электрона. Чтобы понять динамическую роль волнового вектора к, следует рассмотреть реакцию блоховских электронов на приложенные внешние электромагнитные поля (см. гл. 12). Только тогда полностью выявляется его сходство с рIh. Пока же читатель должен считать, что к представляет собой квантовое число, характеризующее трансляционную симметрию периодического потенциала, точно так же, как квантовое число р характеризует более полную трансляционную симметрию свободного пространства 1J.

2. Волновой вектор к, входящий в теорему Блоха, можно всегда считать относящимся к первой зоне Бриллюэна (или к любой другой примитивной элементарной ячейке обратной решетки, выбор которой оказывается более удобным). Это справедливо потому, что, если вектор к' не лежит в первой зоне Бриллюэна, то его можно представить в виде

к' = к + К, (8.46)

где К — вектор обратной решетки, а вектор к теперь лежит в первой зоне. Для любого вектора обратной решетки eiKR = 1, поэтому, если соотношение Блоха (8.6) справедливо для к', оно справедливо также и для к.

3. Номер зоны п появляется в теореме Блоха из-за того, что при заданном к имеется много решений уравнения Шредингера. Это отмечалось нами при втором доказательстве теоремы Блоха, но видно также и из следующих рассуждений.

Будем искать все решения уравнений Шредингера (8.2), которые могут быть представлены в блоховской форме

ф (г) = е**'ги (г) (8.47)

с заданным волновым вектором кис функцией и, обладающей периодичностью решетки. Подставляя это выражение в уравнение Шредингера, находим, что и определяется задачей на собственные значения

Нъи* (г) = (I V + k)'2 + U (г)] ик (г) = Гкцк (г) (8.48)
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 203 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed