Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
*=і I-K1+з Juk-kJ' + о т. ода)
^k-K1-Pk-K к 1
Уравнение (9.13) показывает, что слабо возмущенные невырожденные зоны отталкивают друг друга: каждый уровень к, лежащий ниже Srk-Kn дает вклад в (9.13), повышающий величину а каждый уровень, расположенный выше Дает вклад, понижающий эту энергию. Однако наиболее важный
качественный вывод, вытекающий из этого анализа для случая, когда приблизительное вырождение отсутствует, заключается в том, что сдвиг энергии по сравнению со значением для свободных электронов имеет второй порядок по U. При паличии приблизительного вырождения (как мы сейчас увидим) такой сдвиг энергии может быть линейным по U. Следовательно, в основном порядке по слабому периодическому потенциалу значительный сдвиг испытывают лишь почти вырожденные уровни свободных электронов. Поэтому главное внимание необходимо уделить именно этому важному случаю.
Случай 2. Пусть величина к такова, что имеются BeKTopbiK1, . . ., Km обратной решетки, ДЛЯ которых энергии Sfk-IC1 1 • • .,Sk-к отличаются друг от друга на величину порядка г) U, тогда как разность между этими энергиями
!) Мы учли, что в силу (8.34) выполняется соотношение U^.
2) В одномерном случае т не может быть больше двух, однако в трехмерном возможны большие значения т. Электроны в слабом периодическом потенциале 161-
и энергией Jsk—к велика по сравнению с U,
Ig0k=-K-S0k-Kj>и, i = l, ..., тп, КфКи ..., Km. (9.14)
В этом случае мы должны рассматривать отдельно те из уравнений системы (9.2), для которых К есть одно из т значений K1, . . ., Km. Это дает т, уравнений, соответствующих уравнению (9.9) в невырожденном случае. В получаемых т уравнениях мы выделяем из суммы ,те члены, которые содержат коэффициенты Ck-Kj-I 7 = 1, • . ., т. Эти члены могут и не быть малыми в пределе стремящегося к нулю взаимодействия в отличие от других членов, которые имеют порядок выше U. В результате получаем
т
(S-Sk-Kj)Ck-Ki= S Vk KiCk-Kt+ 2 ^K-K-Ck-K, 1=1,...,/7?-! 1 5-і 1 1 1 K=StK1.....Km 1
(9.15)
Выделяя таким же образом члены в сумме, мы можем записать уравнения (9.2) для остальных уровней в виде
т
Ck-K = -—o-(^t7Ky-KCk-K,+ 2 ^к'-кСк-к») , K=TfcK1,..., Km.
^k-K i=1 IC=JfcKlt..., Krn
(9.16)
Последнее уравнение соответствует уравнению (9.10) в случае отсутствия приблизительного вырождения.]
Поскольку при К ф K1, . . ., Km коэффициенты Ck-K имеют порядок выше U, уравнения (9.16) дают
т
Ck-K= ^0 ^Uyi +O(W). (9Л?)
Подставляя эти выражения в (9.15), получаем
т
(S Sk-K^) Ck—K. = 2 t7Kj--KiCk-Ky +
5=1
+ 2( S
5=1 K==^K1.....Km ° ®К К
Сравним полученные уравнения с результатом (9.12) для случая, когда приблизительное вырождение отсутствует. Там мы нашли явное выражение для сдвига энергии с точностью до U2 [система уравнений (9.18) переходит в него при т = 1]. Теперь, однако, мы видим, что с точностью до С/2 определение сдвигов для тп почти вырожденных уровней сводится к решению системы из т уравнений *) для Ck-кг- При этом коэффициенты во второй сумме справа в этих уравнениях имеют более высокий порядок по U, чем в первой 2). Следовательно, чтобы найти основные поправки по величине V, можно заменить (9.18) системой
1J Они довольно тесно связаны с уравнениями теории возмущений во втором порядке в случае вырождения, к которым они сводятся, если все 1Sj^-K > ' = • ¦ та> строго равны
друг другу. (См. учебник JI. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [1].)
2) Числитель содержит два множителя U и, поскольку в сумму входят лишь значения К, отличающиеся от K1, . . ., Km, знаменатель не имеет порядка U при %. близком к і = 1, . . т. •162
Глава 4
гораздо более простых уравнений:
т
{% — ёк-к.)Ск-к. = Sc7Ki-K-Ck-K,, г = 1,
г » J^1 } і }
., гп,
(9.19)
представляющих собой просто общие уравнения для системы с т квантовыми уровнями ').
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ УРОВНИ ВБЛИЗИ ОДНОЙ ИЗ БРЭГГОВСКИХ ПЛОСКОСТЕЙ
Простейшим и наиболее важным примером предыдущего анализа может служить случай, когда два уровня свободных электронов расположены близко
друг к другу (по сравнению с U), но далеко от остальных уровней (также по сравнению с U). Если это так, уравнения (9.19) сводятся к двум уравнениям
(S -H-K1) Ck-K1 = ^K2-K1Ck-K2,
(S — Pk-K2) Ck-K2 = ^K1-K2Ck-K1.
Если речь идет лишь о двух уровнях, нет необходимости по-прежнему пользоваться симметричными обозначениями. Поэтому введем переменные, особенно удобные именно для двухуровневой задачи
q = k — K1 и К = K2 - K1, (9.21) и запишем (9.20) в виде (S — ?S)cq = [/Kcq_K,
(g — І5_к) Cq-K. = CZ-KCq = C7RCq.
Справедливы следующие соотношения:
Ii0q-Pq-K'I »с/
при К'#К, 0. (9.23)
Энергия Sq равна Щ-к Для некоторого вектора обратной решетки, лишь если выполняется условие |q|= | q — К |. Это означает (фиг. 9.2, а), что точка q должна лежать на брэгговской плоскости (см. гл. 6), которая перпендикулярна отрезку, соединяющему начальную точку в ^-пространстве сточкой К обратной решетки, и делит этот отрезок пополам. Из условия, согласно которому равенство Sq = Sq-K' должно выполняться только при К' = К, следует, что q лежит лишь на этой брэгговской плоскости и ни на какой другой.
