Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
і) Заметим, что для перехода от (9.19) к более точному виду (9.18) можно просто заменить U на U', где
(9.22)
Фиг. 9.2. а — если I q I = I q — К |, то точка q должна лежать на брэгговской
плоскости, определяемой вектором К; б — если точка q лежит на брэгговской плоскости, то вектор q — V2K параллелен этой плоскости.
C7K--K- = C7Kj-K,+ S
KrifcK1,..
Uv
-к^к-к.
Km
че 0 - е к — К Электроны в слабом периодическом потенциале
163-
Итак, с геометрической точки зрения условия (9.23) означают, что точка q должна быть близка к одной брэгговской плоскости (но далека от места пересечения двух и более брэгговских плоскостей). Следовательно, случай двух почти вырожденных уровней относится к электрону, волновой вектор которого почти точно удовлетворяет условию однократного брэгговского рассеяния *). Соответственно общий случай большого числа почти вырожденных уровней применим к исследованию такого уровня свободного электрона, волновой вектор которого почти точно удовлетворяет условию одновременного существования многих брэгговских отражений. Поскольку слабый периодический потенциал сильнее всего влияет на почти вырожденные уровни, можно сделать вывод, что главное воздействие слабый периодический потенциал оказывает лишь на те уровни свободного электрона, волновые векторы которых близки к векторам, допускающим брэгговское отражение.
На стр. 168—172 систематически изучается, в каких случаях волновой вектор свободного электрона будет или не будет принадлежать брэгговским плоскостям и какова общая структура энергетических уровней, возникающая в слабом потенциале. Сначала, однако, мы рассмотрим случай, когда существенна лишь одна брэгговская плоскость и структура уровней определяется уравнениями (9.22). Эти уравнения имеют решение при выполнении условия
-UK
Фиг. 9.3. Изображение энергетических ион, описываемых выражением (9.26), при
векторе q, параллельном К. Нижняя зона соответствуют выбору знака «минус» в (9.26), а верхняя — знаку «плюс». При q = = 1/2К две зоны разделены щелью, имеющей величину 2\UKt. Когда точка q значительно удалена от брэгговской плоскости, энергии уровнен (в первом приближении) совпадают с соответствующими значениями для свободных электронов (последние показаны штриховыми линиями).
¦К
'К © —
О,
(9.24)
из которого следует квадратное уравнение Его два корня
і/ 2
(9.25)
(9.26)
описывают главный результат воздействия периодического потенциала на два уровня Jfq и Sq-K свободных электронов, когда точка CJ близка к брэгговской плоскости, определяемой вектором К. Эти решения показаны на фиг. 9.3.
Выражение (9.26) приобретает особенно простой вид для точек, лежащих непосредственно на брэгговской плоскости, так как если q принадлежит брэгговской плоскости, то u>q = Ш\~к. Следовательно,
S = Sq dz I Uk |, если q лежит на одной брэгговской плоскости. (9.27)
х) Падающие рентгеновские лучи испытывают брэгговское отражение, если их волновые векторы принадлежат брэгговской плоскости (см. гл. 6). О '/г К
-3ZzK -H -'/гК О lZzК К 3ZzK д
N
У; К -H -'ZzK О "zK К 3ZzK Ж Электроны в слабом периодическом потенциале
165-
Таким образом, для всех точек на брэгговской плоскости один из уровней повышается на величину | С/к |, а второй понижается на ту же постоянную величину.
Исходя из (9.26), легко также показать, что при = <?q_K выполняется соотношение
3 = <9-28>
т. е. если точка q лежит на брэгговской плоскости, то градиент % параллелен этой плоскости (см. фиг. 9.2, б). Поскольку градиент перпендикулярен поверхностям, на которых функция постоянна, изоэнергетические поверхности вблизи брэгговской плоскости перпендикулярны ей *).
Если точка q принадлежит одной брэгговской плоскости, нетрудно также определить ВИД ВОЛНОВЫХ функций, отвечающих двум решениям % = ± I С/к I-Из уравнений (9.22) следует, что если t дается выражением (9.27), то два коэффициента Cq И Cq-K УДОВЛвТВОрЯЮТ СООТНОШЄНИЮ 2)
Cq= + Sign (С/к) Cq^K. (9.29)
Поскольку два этих коэффициента доминируют в разложении (9.1) по плоским волнам, мы получаем, что при С/к > О
|iKr)|a~(cos-a-K.r)2,
K(r)P~(sin4-K.r)2, S = Sq — I С/К I »
а если С/к < 0, то
1^(1-)12- (sin І-К.г)2, S = Sq + |С/к| ,
, і (9.30)
(Г)|2 — (coa-i-K-r) , S = Sq — |С/К| .
Иногда два найденных типа линейных комбинаций называют волновыми функциями <ф-типа» (I i|5 |2 ~ sin2 V2K-г) и «s-типа» (|i|5|2 ~ cos2 V2K -г), учитывая
Этот результат часто (но не всегда) остается справедливым п в случаях, когда периодический потенциал не мал, поскольку обычно брэгговские плоскости расположены довольно симметричным образом.
2) Для простоты мы предполагаем здесь, что величина Uk действительна (кристалл обладает симметрией относительно инверсии).
Фиг. 9.4. а — параболическая зависимость $ от к для свободных электронов в одномерном случае;
б — первый шаг построения, используемого для определения искажений параболы свободных электронов, возникающих вблизи брэгговской «плоскости» из-за слабого периодического потенциала.
