Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Дальнейшее обсуждение задачи выходит за рамки настоящей книги — нам пришлось бы вначале заново рассмотреть все свойства блоховских функций, не требуя действительности волнового вектора к, а затем исследовать вопрос о том, как подобные блоховские функции с комплексными волновыми векторами могут быть сшиты с экспоненциально спадающими волновыми функциями в пустом пространстве. Такие решения в приближении почти свободных электронов изучаются в задаче 2.
ЗАДАЧИ
1. Некоторые задачи электростатики, связанные с контактной разностью потенциалов и двойным слоем
а) Рассмотрим плоскую поверхность металла, перпендикулярную оси х. Простейшая модель искажения плотности заряда в ячейках, близких к поверхности, заключается в том, что мы будем пренебрегать всякими изменениями в плоскости поверхности и описывать отклонение плотности заряда от ее объемного значения функцией бр (х), зависящей лишь от одной переменной X. Тогда условие отсутствия суммарного макроскопического заряда на поверхности есть
0 = jdx?p (х). (18.31)
Плотность заряда 6р (х) приводит к электрическому полю E (х), также перпендикулярному поверхноети. Выведите непосредственно из закона Гаусса (V-E = 4лбр), что, если поле обращается в нуль на одной стороне двойного слоя (как это должно быть внутри металла), то оно равно нулю и на другой его стороне. Покажите также, что работа, затрачиваемая на перемещение электрона через двойной слой, равна
Wt= - 4леР, (18.32)
где P — дипольный момент единицы поверхности, создаваемый двойным слоем. (Укаяапие. Представьте работу в виде интеграла и проведите разумным образом интегрирование по частям.)
б) Покажите, что плотность заряда, который следует дополнительно раїместить на проводящей сфере радиусом 1 см, чтобы увеличить ее потенциал от нуля до 1 В, составляет около 10"1в электрона на квадратный ангстрем.
2. Электронные поверхностные уровни в слабом периодическом потенциале1)
Методы гл. 9 можно использовать для рассмотрения электронных поверхностных уровней. Пусть мы имеем полубесконечный кристалл с плоской поверхностью, перпендикулярной вектору К обратной решетки (поверхности кристалла параллельны атомным плоскостям). Направим ось х по вектору К и выберем в качестве начала отсчета одну из точек решетки Бравэ. Тогда мы можем грубо аппроксимировать потенциал полубесконечного кристалла выражением V (г) = U (г), х < а; V (г) = 0, х > а. Здесь U (г) — периодический потенциал бесконечного кристалла. Расстояние а следует выбирать отдельно для каждой конкретной задачи, так чтобы получить потенциал V (г), который более всего напоминает реальный потенциал вблизи поверхности. Оно межет меняться от нуля до расстояния между атомными плоскостями в семействе плоскостей, параллельных поверхности.
Мы по-прежнему предполагаем, что фурье-компоненты Uk действительны. Однако, если мы хотим, чтобы наинизший уровень вне кристалла имел энергию, равную нулю, мы уже более не можем пренебрегать нулевой фурье-компонентой Ut внутри кристалла, как
1) См. работу Гудвина [3]. :370
Глава 12
это мы делали в гл. 9. Сохранив компоненту Ue, мы сдвинем на эту величину все энергии уровней в кристалле, даваемые формулами гл. 9. Заметим, что для применимости методов гл. 9 компонента Ut может и не быть малой в отличие от фурье-компонент t/K с векторами К ф 0.
Рассмотрим в бесконечном кристалле блоховский уровень с волновым вектором к, который расположен поблизости от брэгговской плоскости, определяемой вектором К, но вдали от других брэгговских плоскостей, так что в слабом периодическом потенциале волновая функция этого уровня есть линейная комбинация плоских волн с волновыми векторами кик — К. В гл. 9 действительность вектора к требовалась лишь для выполнения граничных условий Борна —Кармана. В полубескопечном кристалле, однако, составляющая вектора к, перпендикулярная поверхности кристалла, может и не быть действительной, требуется лишь, чтобы она давала волну, экспоненциально спадающую в отрицательном направлении оси х (в глубь металла). Снаружи металла блоховская функция должна быть сшита с решением уравнения Шредингера для свободного пространства, которое спадает в положительном направлении оси х (т. е. в направлении от металла). Таким образом, вне металла мы выбираем
а внутри
= '(Ск + Ск_кЄ-*П я <в| (18 34)
где кц — составляющая вектора к, параллельная поверхности, а коэффициенты в (18.34) определяются путем решения задачи па собствеппые значения (9.24) (с энергией %, сдвинутой на постоянную величину U0):
ck-t/Kck_K = 0,
-икЪ+V-n-K-v*) (18-35)
а) Покажите, что определяемые иэ уравнения (18.35) при q Ф 0 энергии будут депстви тельны, если k0 = Kl2.
б) Покажите, что значения энергии при к0 — Kll описываются выражением
'4 Иі + Т + (18.36)
в) Покажите, что из непрерывности і)> и Vi|' на поверхности следует условие
P + q=s±. Kte (18.37)
где
—Ї—= ^'0. (18.38)
cIt-K
г) Рассматривая случай а = 0 и воспользовавшись тем, что снаружи металла
покажите, что формулы (18.35) — (18.39) дают решение
