Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
ф( =
r
(Г.6)
Здесь ф (к) — любая функция с периодичностью обратной решетки [ф (к +К) = ф (к) для любых к и всех векторов К обратной решетки]; суммирование ведется по всем векторам прямой ешетки и
фR = v ^
dk
o-m-k
ф( к).
;(Г.7)
В последнем выражении v — объем примитивной ячейки і прямой решетке, а интегрирование проводится по любой примитивной ячейке обратной решетки (например, по первой зоне Бриллюэна).
Можно привести еще один важный пример применения формул (Г.1) и (Г.2). Рассмотрим функции в реальном пространстве, имеющие лишь периодичность, накладываемую граничными условиями Борна — Кармана [формула (8.22)];
/ (г + ЛГгаг) =I / (г), I=I 1, 2, 3. (Г.8)
такие функции периодичны на очень большой (и нефизической) рсиетке Бравэ, которую порождает тройка основных векторов Ntat, і «= 1, 2, 3. Решетка, обратная к ней, имеет основные векторы bi/Ni, где Ьг связаны с а; соотношением (5.3). Вектор этой обратной решетки можно представить в виде
Л "
mi — целые числа.
<=1
(Г.9)
Поскольку объем примитивной ячейки в случае периодичности Борна — Кармана равен объему F всего кристалла, формулы' (Г.1) и (Г.2) принимают вид
/(г):
S he*'
Ic
(Г.10) 378
Приложения
для любой функции /, удовлетворяющей граничным условиям Борна — Кармана (Г.8). Суммирование в (Г. 10) ведется по всем к вида (Г.9) и
/к = 4-jdr (г);
(Г.11)
здесь интегрирование проводится по всему кристаллу. Отметим также аналог формулы (Г.З):
Jdreik" = 0 (Г.12)
V
для любого отличного от нуля к вида (Г.9). д
СКОРОСТЬ И ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА БЛОХОВСКИХ ЭЛЕКТРОНОВ
Производные дШп/дкі и S1EnIdkidkj можно найти, замечая, что они являются коэффициентами при линейном и квадратичном по q членах разложения:
§„(k + q) = ^(k)+S|f?' + T2 ^?- Ml + О (Л - (Д • 1)
і із
Поскольку, однако §n(k + q) есть собственное значение оператора Ht+q Jcm. (8.48)], мы можем вычислить требуемые члены по теории возмущений, воспользовавшись тем, что
Як+Ч = H к+ -S. q. (-fv+:к) + ? ?". (Д.2)
Теория возмущений утверждает, что, если H = H0 + V и нормированные собственные векторы, а также собственные значения оператора H0 определяются уравнением
#0^ = ?, (Д.З)
то с точностью до второго порядка по V оператор H имеет следующие собствен-вые значения:
En = El+ \ + 2 Il^Ml (Д.4)
J "'-1 „о „о •
Ьп — En
п'фп
Для расчета линейного по q члена мы должны оставить в (Д.2) лишь член первого порядка по q и подставить его в член первого порядка в (Д.4). В результате находим
2 -Зг *=2. J dru^ (т v+k), (Д-5)
і і
(Здесь интегрирование ведется либо по одной примитивной ячейке, либо по всему кристаллу в зависимости от того, считаем ли мы нормировочный интеграл
равным единице при интегрировании по одной примитивной
ячейке или же по всему кристаллу.) Следовательно,
з«„ л2
dk
j «k(4-V + k) ипк. (Д.6)
Если выразить этот результат с помощью (8.3) через блоховские функции ^Pnki он приобретает вид
д%п _ ь?
dk т.
j ^nftlc 4- Vifcllc. (Д.7) 380
Приложения
Поскольку (1 Im) (hlі) V — оператор скорости 1J, мы доказали, что величина (Hh) (дШп (k)/ok) есть средняя скорость электрона на блоховском уровне, задаваемом номером зоны п и волновым вектором к.
Чтобы вычислить n/dkidkj, нам необходимо знать 5fn (к + q) с точностью до членов второго порядка по q. Уравнения (Д.2) и (Д.4) дают г)
S druZk-JT Ч-(т V + k) и»'* Г
Sl д*%п Ьї , . ^
а п'^п
3nk
п'к
(Д-8)
Используя вновь (8.3), мы можем выразить (Д.8) через блоховские функции
Sf
д2%п
(nk іД-q-V In'k)
'mi ' '
2 дкі Sk) 2m
Ij п'фп
»nk"
где введено обозначение
j = (nk I X I n'k).
(Д-9)
(Д.Ю)
Следовательно,
dki dk] m
<«k 14-v' і n'k> <n'k 14" v>1 nk>+<nk і T v>1 n'k> {n'k ITv'1 nk> x S «„«-«„. (k) " "
п'фп
(Д.11)
Величина справа в (Д.11) (умноженная на Hhi) есть обратный «тензор эффективной массы» (см. стр. 232), поэтому формулу (Д.11) часто навивают «теоремой об эффективной массе».
г) Оператор скорости есть v = dx/dt = (Hih) [г, Ы] = p/m = hVIml. г) Первое слагаемое справа в (Д.8) возникает при подстановке члена второго порядка из [см. (Д.2)] в член первого порядка в формуле теории возмущений (Д.4). Второе
слагаемое справа возникает при подстановке члена первого порядка ив Hk+q в член второго порядка в формуле теории возмущений. E
НЕКОТОРЫЕ ТОЖДЕСТВА, СВЯЗАННЫЕ С ФУРЬЕ-АНАЛИЗОМ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Чтобы вывести формулы обращения Фурье, достаточно доказать тождество
(Е.1)
2 ^-R = TV6ki0,
в котором R пробегает N узлов решетки Бравэ
з
R = E Biail 0^niCNhNlN2N3 = N, (Е.2)
а к есть любой вектор в первой зоне Бриллюэна, отвечающий граничным условиям Борна — Кармана для решетки из точек, определяемых соотношением (Е.2).
Для доказательства этого тождества проще всего заметить, что, поскольку к отвечает периодическим граничным условиям Борна — Кармана, величина суммы в (Е.1) не изменится, если каждый вектор R сместить на R0, где вектор R0 представляет собой любой вектор вида (Е.2):'
