Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ашкрофт Н. -> "Физика твердого тела. Том 1" -> 196

Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.

Ашкрофт Н. , Мермин Н. Физика твердого тела. Том 1 — М.: Мир, 1979. — 458 c.
Скачать (прямая ссылка): fizikatverdogotela1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 190 191 192 193 194 195 < 196 > 197 198 199 200 201 202 .. 203 >> Следующая


OO

j (-0//08) dg = 1.

- оо

Кроме того, поскольку 0//0g — четная функция OT S — (Д., вклад в (В.4) дают только слагаемые с четным п в (В. 5). Тогда, выражая К через исходную

При % -*¦ оо проинтегрированное слагаемое обращается в нуль потому, что фэряшев-ская функция стремится к нулю гораздо быстрее, чем возрастает К, а при Й -*¦ —оо из-за того, что фермиевская функция стремится к единице, а величина К — к нулю. В. Зоммерфельдовские интегралы 375

функцию H с помощью (В.2), находим

] ДГЯ(»)/(*)= J Н{Ш)М+ 2 J

— оо —оо П—1 —оо

(В.6)

Наконец, делая подстановку (Ш — \i)!kBT = получаем

OO р, OO

j H{$)f?)d% = j H {ЩйШ+ 2 MWn-USrtf (S) I (B.7)

— OO — OO 71—J

где an — безразмерные числовые постоянные, определяемые выражением

T-K (.в-8)

-OO

Путем элементарных вычислений можно показать, что

= 42ЇГ + "52ЇЇ (В-9)

С помощью дзета-функции Римана ? (п) этот результат записывают в виде

«n = (2—2i<Ur)E(2n), (В.10)

где

= + + - (В.11)

Для первых нескольких п функция ? (2п) имеет следующие значения 1J:

S <2»)-=22^1W5"' (ВЛ2)

где Bn называют числами Бернулли:

?i = T' 5г = Ж' j, = ^5 = -A.. (В.13)

В физике металлов в большинстве практических расчетов обычно достаточно знать, что ? (2) = я2/6; иногда используется значение ? (4) = я4/90. Если все же понадобится продолжить разложение Зоммерфельда (2.70) для п >5 [для чего потребуются значения Bn, не приведенные в (В.13)], то можно воспользоваться тем, что при 2п;>12 для вычисления ап с точностью до пяти знаков достаточно взять первые два члена в знакочередующемся ряду (В.9).

ЛИТЕРАТУРА

1. Jahnke E., Emde F., Tables of Functions, 4th ed., Dover, New York, 1945, p. 272. (Имеется перевод: Янке E., Эмде Ф., Таблицы функций с формулами и кривыми. — M.: Физматгиз, 1959.)

1J См., например, [1]. г

РАЗЛОЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПО ПЛОСКИМ ВОЛНАМ В СЛУЧАЕ НЕСКОЛЬКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

Начнем с общего замечания, что плоские волны eik r образуют полный набор функций, по которому может быть разложена любая функция (удовлетворяющая определенным условиям регулярности) 1). Если функция / (г) имеет периодичность решетки Бравэ, т. е., если / (г + R) = / (г) для любого г и всех R из решетки Бравэ, то в разложении могут присутствовать только плоские волны, обладающие периодичностью решетки Бравэ. Поскольку совокупность волновых векторов, отвечающих плоским волнам с периодичностью решетки, образует обратную решетку, разложение по плоским волнам для функции, периодичной в прямой решетке, имеет вид

(Г.1)

где суммирование ведется по всем векторам обратной решетки К Коэффициенты Фурье /к определяются выражениями

(Г.2)

Интегрирование проводится по любой (примитивной) элементарной ячейке С, & V — объем этой ячейки 2). Это можно доказать, умножая (Г.1) на e~iK'T/v и интегрируя по ячейке С, если нам удастся предварительно установить s), что

j dreiK" = О (Г.З)

с

для любого отличного от нуля вектора К обратной решетки.

Чтобы получить соотношение (Г.З), заметим просто, что, поскольку функция еІК г имеет периодичность решетки (так как К — вектор обратной решетки), интеграл от нее по примитивной ячейке не зависит от выбора этой ячейки 4).

1) Мы не пытаемся здесь добиться математической строгости. В случае трех измерений математические тонкости не сложнее, чем в одномерном случае,ибо каждый раз мы можем считать, что функция зависит лишь от одной переменной. Нас интересуют здесь формальные правила и обозначения, позволяющие в наиболее сжатой форме записать основные формулы трехмерного разложения Фурье, а не их строгий вывод.

2) Выбор ячейки несуществен, поскольку подынтегральное выражение периодично. Интеграл от периодической функции по примитивной ячейке не зависит от выбора ячеек. В этом легко убедиться, вспомнив, что любую примитивную ячейку можно разбить на части и, перенеся их на векторы решетки Бравэ, получить из нее любую другую примитивную ячейку, а периодическаяфункция не меняется при трансляции на вектор решетки Бравэ.

3) Не стремясь к математической строгости, мы пренебрегаем возможными трудностями, связанными с изменением порядка интегрирования и суммирования.

') См. выше примечание 2. Г, Разложение периодических функций по плоскнм волнам

377

В частности, ое не изменится, если мы перенесем примитивную ячейку С на вектор d (не обязательно совпадающий с вектором решетки Бравэ). Однако интеграл по смещенной ячейке С' можно записать как ивтегрял от е'к,|Г+<| по исходной ячейке. Поэтому

или

j;dreiK,<r+?>= j dr e^'r>== j dr eiK'r

C C' C

(eiK.d_i) j dr4eiK'r = 0.

(Г.4)

(Г.5)

Поскольку величина (e'K>d — 1) может обращаться в нуль при произвольном d, лишь если обращается в нуль сам вектор К, это доказывает формулу (Г.З) для отличного от нуля значения К.

Формулы (Г.1) и (Г.2) используются в разных целях. Их можно применять непосредственно для функций в реальном пространстве с периодичностью решетки Бравэ кристалла, а также для функций в fc-прсстранстве, которые имеют периодичность обратной решетки. В последнем случае, замечая, что обратной к обратной является прямая решетка и что объем примитивной ячейки of ратной решетки равен (2n)3/v, мы можем записать (Г.1) и (Г.2) в виде1"
Предыдущая << 1 .. 190 191 192 193 194 195 < 196 > 197 198 199 200 201 202 .. 203 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed