Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
у. e»k*R =, 2 e«*<«+R.> = 2 e,k,R. ГЕ 3)
RjB R \ ' '
Следовательно, сумма должна быть равна нулю, если только экспонента eikR» не равна единице для всех R0 вида (Е.2), т. е. для всех векторов R0 решетки Бравэ. Это возможно лишь в том случае, когда к — вектор обратной решетки. Но единственный вектор оэратной решетки в первой зоне Бриллюэна есть к =а 0 *). Поэтому левая сторона равенства (Е.1) действительно обращается в нуль при к =5<Ь 0 и тривиально равна N при к = 0.
Приводим еще одно важное тождество, тесно связанное с предыдущим:
к
(Е.4)
где R — любой вектор вида (Е.2), а сумма по к берется по всем точкам в первой зоне Бриллюэна, отвечающим граничным условиям Борна — Кармана. Сумма в (Е.4) теперь не меняется, если перенести каждый вектор к на один и тот же вектор к0, лежащий в первой зоне и отвечающий граничным условиям Борна — Кармана. Действительно, примитивную ячейку, получаемую путем смещения «сей первой зоны на вектор к0, можно вновь вернуть в первую зону Бриллюэна, разбив ее на части и сместив их на подходящие векторы обратной решетки. Поскольку ни одно слагаемое вида eikR не изменится при сдвиге к на вектор
*) Если значения к не ограничены первой зоной, сумма в (Е.1) будет равна нулю, когда k KecosnanaeT ни в одним из векторов К обратной решетки, и равна JV в противном случае. 382
Приложения
обратной решетки, сумма по смещенной зоне тождественно равна сумме по исходной зоне Бриллюэна. Таким образом,
у gik'R — "S1 ei(k+k0)»R_elk0.RV gik.R. /g g
k k~ Г ' '
следовательно, сумма слева в формуле (Е.4) должна обращаться в нуль, если только экспонента eikt'R не равна единице для всех векторов к0, отвечающие граничным условиям Борна — Кармана. Единственный вектор R вида (Е.2), для которого это возможно, есть R = O. Но при R = O сумма в (Е.4) тривиально равна /V. ж
ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
Пусть — дифференцируемые функции, удовлетворяющие условию Блоха с волновым вектором к. Мы хотим показать, что функционал E [tJ;] [формула (11.17)] достигает стационарного значения лишь на тех функциях которые удовлетворяют уравнению Шредингера:
+ = (Ж.1)
Мы имеем В виду следующее. Пусть функция \|) близка К ОДНОЙ из функций так что
Ф = Ifc + бф, (Ж.2)
где бф — малая величина. Пусть функция г); удовлетворяет условию Блоха с волновым вектором к и, следовательно, тому же условию удовлетворяет бт|). Тогда
Е[^\ = E [т|)к] + О (бг[))2. (Ж.З)
Чтобы упростить запись доказательства, введем определение
Пф, %]=1 Уф*-Ух + и(т)ф*х) (Ж.4)
и воспользуемся стандартным обозначением
(ф, у) = j dipt. (Ж.5)
Заметим, что тогда E [ф] запишется в виде
Вариационный принцип непосредственно следует из того, что для любой функции ф, удовлетворяющей условию Блоха с волновым вектором к, выполняются соотношения
Flfy, = ф). ( }
Действительно, условие Блоха требует, чтобы подынтегральные выражения в соотношениях (Ж.7) имели периодичность решетки. Но тогда мы можем воспользоваться стандартными формулами интегрирования по частям из приложения И и сделать так, чтобы оба градиента действовали на функцию т|)к;> после этого, учитывая, что т|)к удовлетворяет уравнению Шредингера (Ж.1), мы сразу же получаем формулы (Ж.7). 384 Приложения
Теперь можно написать
Лф, ф] = Лфк + бф, фи + 6ф] =
=>^[фк, ф^ + Лбф, + бф] + 6>(бф)а=і
=« ^k {(?, Фк) + (фк, бф) + (бф, фк)} + О (бф)2. (Ж.8)
Кроме того,
(Ф, Ф) (фк, Фк) + (фк, бф) + (бф, фк) + О (бф)2 (Ж.9)
Поделив (Ж.8) на (Ж.9), получпм
E [ф] = ^т^р= ^k + О (бф)2, (Ж.10)
что и доказывает вариационный принцип. [Равенство E [ф^] =я следует из (Ж.10), если положить величину бф равной нулю.]
Обратите внимание, что в приведенном выводе не требуется, чтобы функция ф имела непрерывную первую производную. з
ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА ПОЛУКЛАССИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ И ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ
Полуклассические уравнения движения (12.6а) и (12.66) можно записать в канонической гамильтоновой форме:
дН • дН /о л \
P=--яг-, (3-1)
dp ' r or
где гамильтониан для электронов в п-й зоне имеет вид
Я (г, p) = gn (4[р + ^-А(г, *)])-** (г, t). (3.2) Поля выражаются через векторный и скалярный потенциал
H = VxA1 E=-V^--(3'3> и переменная к, входящая в (12.6а) и (12.66), определяется следующим образом:
йк = р + — А (г, t). (3.4)
Проверка того, что уравнения (12.6а) и (12.66) следуют из (3.1) — (3.4), является хотя и громоздким, но принципиально простым упражнением в дифференцировании (как и в случае свободных электронов).
Заметим, что канонический квазиимпульс (переменная, которая играет роль канонического импульса в гамильтоновой формулировке) не равен Йк, а имеет вид [как это следует из ( 3.4)]
р = Йк—~ А (г, t). (3.5)
Поскольку полуклассические уравнения движения для каждой зоны имеют каноническую гамильтонову форму, теорема Лиувилля утверждает, что с течением времени области в шестимерном гр-нространстве могут претерпевать лишь такую эволюцию, которая сохраняет их объемы. Однако вектор h к отличается от р лишь на добавочный вектор, который не зависит от р, поэтому любая область в гр-пространстве имеет тот же объем, что и соответствующая область в г/Ь-пространстве 2). Это доказывает теорему Лиувилля в том виде, как она используется в гл. 12 и 13.
