Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
ЛИТЕРАТУРА
1. Symon К. R., Mechanics, 3rd ed., Addison-Wesley, Reading, Mass., 1971, p. 395.
*) Для ее доказательства требуется лишь, чтобы уравнения движения имели форму (3.1). См., например, учебник [1].
2) Формально — якобиан д (г, р)/д (г, к) равен единице. и
V
V
ТЕОРЕМА ГРИНА ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Если как м(г), таки у(г) имеют периодичность решетки Бравэ1), то справедливы следующие тождества для интегралов по примитивной ячейке С:
J druVv= — J drvVu, (И.1)
с с
j druV2V = j drv\2u. (И.2)
с с
Докажем эти тождества.
Пусть / (г) — любая функция с периодичностью решетки Бравэ. Поскольку С — примитивная ячейка, интеграл
/(r')= j dr/(r + r') (И.З)
с
не зависит от г'. Поэтому, в частности,
'/(r')= j drV'f (г 4- г') = j <2rV/(r 4-г') = 0, (И.4)
с с
'Ч(т')= j drV'2/(r + r')= J rfrV2/(r + r') = 0. (И.5)
с с
Вычисляя эти выражения при г'= 0, находим, что для любой периодической функции / справедливы соотношения
jdrV/(r) = 0, (И.6)
с
j cZrV2/(r) = 0. (И.7) с
Тождество (И.1) получается непосредственно из формулы (И.6), если применить ее к случаю / = UV. Чтобы доказать тождество (И.2), положим в (И.7) / = UV, тогда имеем
j ^r(V2w)l; + j dr U(V^v)+ 2 j drVu- Vv = 0. (И.8)
CC с
К последнему слагаемому в (И.8) можноЪрименить тождество (И.1), считая двумя периодическими функциями в (И.1) функцию V и различные компоненты градиента от v. Это дает
2 j drVu-Vv= —2 j druV2v, (И.9)
с с
и в результате равенство (И.8) переходит в (И.2).
Мы используем обозначения для реального пространства, хотя теорема, разумеется, справедлива и для периодических функций в /с-пространстве. к
УСЛОВИЯ ОТСУТСТВИЯ МЕЖЗОННЫХ ПЕРЕХОДОВ В ОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ИЛИ МАГНИТНОМ ПОЛЯХ
Теория электрического и магнитного пробоев, лежащая в основе условий (12.8) и (12.9), довольно сложна. В этом приложении дано лишь самое грубое объяснение подобных условий.
В пределе исчезающе малого периодического потенциала электрический пробой имеет место всякий раз, когда волновой вектор электрона проходит через брэгговскую плоскость (стр. 222). Если периодический потенциал слаб, но не равен нулю, можно задаться вопросом, почему по-прежнему следует ожидать, что пробой будет происходить вблизи брэгговской плоскости и насколько сильным должен быть потенциал, чтобы такая возможность была исключена.
В случае слабого периодического потенциала зависимость % (к) имеет большую кривизну х) в точках вблизи брэгговских плоскостей (см., например, фиг. 9.3). В результате вблизи брэгговской плоскости небольшой разброс в значениях волнового вектора может приводить к большому разбросу в скоростях, поскольку
Mk)=l.AkA4(U)A*. (К.1)
Чтобы полуклассическая картина сохраняла справедливость, неопределенность в скорости должна оставаться малой по сравнению с характерной скоростью электронов vF. Это устанавливает верхний предел для AA;:
Поскольку периодический потенциал слаб, мы можем оценить максимальное значение д2Ш/дк2, продифференцировав энергию (9.26) для почти свободных электронов вдоль направления нормали к брэгговской плоскости и взяв величину этой производной на самой плоскости:
дЩ (Й2К/т)2
дк* ~ \иК
(К.З)
Так как ЙХ/тда vF, a ^gap да | t/K | [см. формулу (9.27)], неравенство (К.2) принимает вид
_е hu*
что определяет нижний предел неопределенности координаты электрона:
1J То есть обладает большой второй производной.— Прим. перев. 388
Приложения
Неопределенность координаты обусловливает неопределенность потенциальной энергии электрона во внешнем поле
eEhvp
еАф = еЕАх > :
»gap
(К.6)
Когда неопределенность потенциальной энергии становится сравнимой с шириной запрещенной зоны, может происходить межзонный переход, не нарушающий закона сохранения энергии. Чтобы такой межзонный переход был невозможен, должно выполняться условие
^gap ^>
eEfrvi
Bgap
Поскольку Kvр/аж Ш F, гда а — постоянная можно представить также в виде
» еЕа.
75 F
(К.7)
решетки, неравенство (К.7)
(К.8)
Аналогичные приближенные оценки позволяют получить условие магнит ного пробоя. Поскольку отобрать энергию от магнитного поля невозможно, для пробоя необходимо, чтобы неопределенность волнового вектора электрона была
Фиг. КЛ. К рассмотрению магнитного пробоя. Когда две зоны близки друг к другу, расстояние в (!-пространстве между точками с одинаковой энергией равно примерно Ah = JJgap/!Здесь ggap есть минимальное расстояние по вертикали между двумя
сравнима с расстоянием между точками с одинаковой энергией на двух различных полостях поверхности Ферми. В ^-пространстве это расстояние имеет порядок Jfgap/1 д Ш Idk I (фиг. К.1), т. е. примерно SgapIKvp. Условие отсутствия пробоя поэтому таково:
а* « jIsl- (к-9)
На стр. 233 мы видели, что в магнитном поле полуклассическая орбита в реальном пространстве получается путем поворота орбиты в ^-пространстве на 90° вокруг направления поля и изменения ее масштаба в отношении KdeH. Следовательно, из соотношения неопределенности
