Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
dk' к-[1-S (к')] (16-2)
т (к) j
(2л)
Из выражения (16.2) видно, что в отличие от приближения времени релаксации теперь т (к) не является заданной функцией к, а зависит от конкретного вида неравновесной функции распределения g.
СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗА СЧЕТ СТОЛКНОВЕНИЙ
Информацию, содержащуюся в выражении (16.2), удобно представить B несколько ИНОЙ форме. Определим величину (dg (k)/di)0uti через которую выражается число электронов на единицу объема с волновыми векторами в бесконечно малом элементе объема dk с центром в к, испытывающих столкновение
а) Вклад, вносимый в электронную плотность электронами (с определенным спином) из элемента объема ?Йс с центром в к, равен (см. стр. 245) g (к) ?Йс/(2л)8. Поскольку вклад электронов (с определенным спином) из данного элемента объема имеет максимальную величину, равную йк/(2л)3, когда все уровни заняты, функцию g (к) можно рассматривать также как относительное число занятых уровней в элементе объема dk с центром в к. Поэтому
1 — g (к) есть относительное число незанятых уровней. За пределами т-приближения
317
за бесконечно малый интервал времени dt, т. е.
(^Ltot*- (ИЛ)
Поскольку интервал dk имеет бесконечно малую величину, результат любого столкновения для электрона заключается в том, что электрон уходит из «своего» элемента объема. Поэтому выражение (16.3) можно рассматривать также как число электронов, покидающих за счет рассеяния элемент объема dk с центром в к за интервал времени dt.
Чтобы рассчитать величину (dg (k)/dt)0llt, заметим просто, что, поскольку dt/x (к) есть вероятность того, что любой электрон в окрестности к испытал рассеяние за интервал времени dt, полное число электронов на единицу объема в окрестности dk около к, которые испытывают столкновения, равно величине dt/x (к), умноженной на число электронов на единицу объема в элементе dk около к, т. е. умноженной на g (к)сйс/(2я)3. Сравнивая этот результат с (16.3), находим
- 'W ІТКГ-"-'Wl (И.4)
Рассеяние влияет на функцию распределения не только таким путем. С одной стороны, электроны из-за рассеяния покидают уровень к; с другой стороны, в результате рассеяния они попадают на него с других уровней. Такие процессы мы будем описывать при помощи производной (dg(k)/dt)ln, определяемой так, чтобы величина
(^Liwd' <16-5>
была равна числу электронов на единицу объема, которые приходят в элемент объема dk с центром в к в результате столкновения, происшедшего за бесконечно малый интервал времени dt.
Чтобы рассчитать величину (dg (k)/dt)ia, рассмотрим вклад тех электронов, которые непосредственно перед столкновением находились в элементе объема dk' около к'. Полное число таких электронов (с заданным спином) равно g (k') dk'/(2jt)3. Из них лишь относительная часть Wn^' dt dk/(2л)3 испытала бы рассеяние в элемент dk около к, если бы все уровни в этом элементе объема были пустыми; поскольку, однако, пустыми являются лишь (1 — g (к)) из них, эту относительную часть следует соответственно уменьшить. Следовательно, полное число электронов на единицу объема, приходящих в элемент объема dk с центром в к из элемента объема dk' с центром в к' в результате столкновения, происшедшего за интервал времени dt, равно
О (k') w] К'. * 7SF*] V WI- (16-6)
Суммируя по всем к', находим путем сравнения с выражением (16.5)
(¦3SrlL'= f'- * <к>] [W- w^ * (к'> (16-7)
Это выражение совпадает с выражением (16.4), за искл очением того, что к заменяется на к'.
Полезно сравнить эти выражения с соответствующими величинами, полученными в приближении времени релаксации. Выражение для (dg (k)/dt)oat в приближении времени релаксации отличается от (16.4) только тем, что в нем частота столкновений Hx (к) рассматривается как некоторая заданная функ- :318
Глава 12
дия к, которая [в отличие от (16.2)] не зависит от функции распределения g. Различие между выражением (16.7) для (dg (k)/dt)in и соответствующим выражением в приближении времени релаксации оказывается более глубоким. Действительно, приближение времени релаксации требует, чтобы распределение электронов после столкновения, происшедшего в интервале времени dt, было равно величине dt!т (к), умноженной на локально-равновесную функцию распределения g0 (к) [см. (13.3)]. Результаты сравнения сведены в табл. 16.1.
Таблица 16.1
Сравнение общего описания столкновений с упрощенный описанием в приближении времени релаксации
Приближение времени релаксации Общая теория
/ dg (k) \ out g (к)
\ dt /coli T (к)
(dg(к) \ in g° (к)
\ dt I coll т (к)
Замечания т(к)—заданная функция к и не зависит от g (к); g0 (к) — локаль-но-равновесная функция распределения
Wk k,—функция кик', которая в общем случае может зависеть от g (к) или даже от функции распределения, описывающей локальное распределение рассеивателей
Удобно определить величину (dg/dt)соц — полную скорость изменения функции распределения за счет столкновений (collisions). За интервал времени dt число электронов на единицу объема, волновые векторы которых принадлежат элементу объема с?к с центром в к, в результате столкновений изменится на величину (dg (k)/dt)coU dt dk/(2n)3. Поскольку в результате столкновений электроны могут как приходить, так и уходить из сТк, величина (dg/dt)coU равна сумме (dg/dt)in и (dg/dt)0ut:
