Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
ЗАКОН ВИДЕМАНА-ФРАНЦА
Вывод эакона Видемана — Франца в гл. 13 казался вполне общим. Рассмотрим, однако, вновь эту задачу, не прибегая к приближению времени релаксации. Тогда можно показать, что подобный закон справедлив лишь в том случае, когда энергия электрона сохраняется в каждом столкновении. Математически это означает, что для любой функции g (к) вероятность рассеяния Wk, к' Должна удовлетворять требованию
JdkWk, k.g (k') g (к') = Ш (к) \ dk'Wb, к-g (к'). (16.19)
Оно, очевидно, будет выполняться, если W описывается выражением (16.14), соответствующим сохранению энергии, но будет несправедливо, если величина Wk, к' отлична от нуля для значений кик', для которых Ш (к) Ф Ш (к').
Аналитическое доказательство того, что условия упругого рассеяния (16.19) достаточно для выполнения закона Видемана — Франца, выходит за рамки нашей книги. Однако физическую причину подобного условия понять нетрудно. Поскольку заряд каждого электрона всегда равен —е, столкновения могут уменьшить ток лишь путем изменения скорости каждого электрона. Однако в поток тепла [формула (13.42)] вместо заряда входит величина (Ш — ц)/Г. Поэтому, если энергия сохраняется в каждом столкновении (подобно заряду), то поток тепла будет уменьшаться точно таким же образом и точно в той же степени, как и электрический ток. Если, однако, столкновения не сохраняют энергию Ш электрона, то становится возможным второй механизм уменьшения потока тепла, не имеющий электрического аналога. Столкновения могут менять не только скорость, но и энергию to электрона. Поскольку такие неупругие столкновения совершенно по-разному влияют на поток тепла и электрический ток, мы уже не можем ожидать, что электро- и теплопроводность будут связаны простым соотношением 2).
Очевидно, закон Видемана — Франца будет выполняться с хорошей точностью, если с достаточной точностью сохраняется энергия. Критическое требование заключается в том, что изменение энергии каждого электрона
1) Более подробное изложение читатель найдет в книгах [1, 5*].— Прим. ред.
2) Иногда можно встретить утверждения, что закон Видемана — Франца становится неприменимым, поскольку время релаксации для теплового потока оказывается отличным от времени релаксации для электрического тока. В лучшем случае такое утверждение представляет собой излишнее упрощение, искажающее действительную картину. Закон Видемана — Франца становится несправедливым при наличии неупругого рассеяния по той причине, что имеются процессы рассеяния которые могут уменьшить поток тепла, не уменьшая электрический ток. Неприменимость закона связана не с различием частоты электронных столкновений, а с различием эффективностей каждого отдельного столкновения в уменьшении двух потоков. За пределами т-приближения
383
в результате столкновения не должно превышать квТ. Оказывается, что рассеяние на тепловых колебаниях ионов может удовлетворять этому требованию при высоких температурах. Поскольку такое рассеяние является основным механизмом столкновений при высоких температурах, закон Видемана — Франда обычно хорошо выполняется и при высоких, и при ниэких ') температурах. Однако в промежуточной области температур (примерно от десяти до нескольких сот кельвинов, где неупругие столкновения доминируют и способны давать потери энергии порядка квТ, следует ожидать нарушений закона Видемана — Франца, и они действительно наблюдаются 2).
ПРАВИЛО МАТИССЕНА
Предположим, что имеются два физически различных механизма столкновений (например, рассеяние на примесях и рассеяние на других электронах). Если наличие одного механизма не влияет на другой механизм, то полная скорость столкновений W будет равна сумме скоростей столкновений для отдельных механизмов:
W = Wtl> + W<*>. (16.20)
В приближении времени релаксации отсюда сразу же следует, что
Предположим, кроме того, что время релаксации для каждого механизма не зависит от к; тогда поскольку сопротивление пропорционально 1/т, получаем
___J__, jn__1_
пеН ~~ пёг т«1» ие2 т<2>
р = + + (16.22).
Это означает, что удельное сопротивление при наличии нескольких механизмов рассеяния есть просто сумма удельных сопротивлений, обусловленных каждым из них по отдельности.
Последнее утверждение называется правилом Матиссена. На первый взгляд его ценность сомнительна, ибо трудно представить себе, как можно было бы исключить один механизм рассеяния, сохраняя все остальные неизменными. Тем не менее оно дает ряд принципиальных результатов, которые могут быть легко проверены. Например, частота упругого рассеяния на примесях не должна зависеть от температуры (поскольку ни число примесей, ни их взаимодействие с электронами не меняются сколько-нибудь существенно с температурой), тогда как частота электрон-электронного рассеяния должна быть пропорциональна T2 (в простейших теориях: см. гл. 17). В этом случае правило Матиссена предсказывает, что когда главными механизмами являются рассеяние на примесях и электрон-электронное рассеяние, удельное сопротивление имеет вид р = А + ВТ2, где коэффициенты А и В не зависят от температуры.
