Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
РАССЕЯНИЕ НА ПРИМЕСЯХ
Сравним теперь предсказания, получаемые в приближении времени релаксации, с результатами, к которым приводит учет более точного столкновительного члена (16.8). Когда нам понадобится конкретное выражение для вероятности столкновений Wk, к', в качестве примера мы будем рассматривать простейший в аналитическом отношении случай: упругое рассеяние на неподвижных примесях замещения, расположенных случайным образом в узлах кристаллической решетки. Это отнюдь не искусственный пример, поскольку при понижении температуры рассеяние на тепловых колебаниях ионов (гл. 26) и электрон-электронное рассеяние (гл. 17) становятся все более слабыми, тогда как ни концентрация примесей, ни взаимодействие между электроном и примесью при этом не меняются сколько-нибудь существенно. Следовательно, при достаточно низких температурах в любом реальном образце рассеяние на примесях становится доминирующим механизмом столкновений. Такое рассеяние оказывается упругим, если энергетическая щель между основным состоянием примеси и ее нижним возбужденным состоянием (составляющая обычно несколько электрон-вольт) велика по сравнению с квТ. Это приводит к двум следствиям: а) число возбужденных ионов примеси, которые при столкновениях могут передавать энергию электронам, оказывается очень малым и б) очень мало число пустых электронных уровней, лежащих настолько низко, что они способны принять электрон, когда он потеряет значительную энергию, переведя ион примеси из основного состояния в возбужденное.
Если концентрация примесей достаточно мала 2), а потенциал U (г), описывающий взаимодействие между электроном и примесью, расположенной
Очень подробный обзор приведен в монографии Займана [1]. Имеется также превосходная серия обзорных статей Лифшица и Каганова [2]. (См. также книгу [5*]. — Прим. ред.)
2) Концентрация примесей должна быть настолько малой, чтобы одновременно электрон мог взаимодействовать лишь о одной из них. За пределами т-приближения
321
в точке г = 0, является достаточно слабым, то, как можно показать, справедливо следующее соотношение:
W^ =^-щ8(Ш(к)-Ш (k'))|(k|ff|k'>|», (16.14)
где Ri — число примесей в единице объема,
<k|ff|k'> = j dri|>Sf (г) U (г) ^nk (г) (16.15)
и блоховские функции считаются нормированными таким образом, чтобы
j dr|it>nk (Г)I2 = ^celI. (16.16)
по ячейке
где Vcell — объем ячейки.
Формулу (16.14) можно вывести, применяя «золотое правило» нестационарной теории возмущений первого порядка 1J к рассеянию блоховского электрона на каждой из примесей. Значительно сложнее проводится более фундаментальный вывод, в котором исходят из полного гамильтониана для электронов и примесей и получают полное уравнение Больцмана со столкновительным членом, даваемым выражениями (16.8) и (16.14) 2).
Мы не будем заниматься здесь выводом выражения (16.14), поскольку в дальнейшем воспользуемся лишь несколькими самыми общими свойствами этого результата.
1. Благодаря наличию б-функции в (16.14) Wk, k' =0, если Ш (к) Ф Ф Jf (к'), т. е. рассеяние является абсолютно упругим.
2. Величина Wk, к' не зависит от электронной функции распределения g. Это следствие приближения независимых электронов: характер взаимодействия электрона с примесью не зависит от других электронов, за исключением ограничений, налагаемых принципом Паули. Это главное упрощение, возникающее для рассеяния на примесях. При рассеянии электронов на электронах, например, Wk, к' зависит от функции распределения g, поскольку помимо простых ограничений, налагаемых принципом Паули, вероятность рассеяния электрона зависит и от того, с какими электронами он взаимодействует. Описание рассеяния на тепловых колебаниях ионов также оказывается более сложным, поскольку тогда W зависит от свойств ионной системы, которые могут быть весьма непростыми.
3. Величина W удовлетворяет условию симметрии
Wk, к, = Wk., к, (16.17)
которое следует из того, что оператор U эрмитов ((k | U | к') = (k' | U | к)*). Можно показать, что это свойство симметрии не зависит от слабости взаимодействия между примесью и электроном, а справедливо в произвольном случае, если потенциалы примеси и кристалла действительны и инвариантны относительно пространственной инверсии. Условие симметрии (16.17) обычно называют принципом детального равновесия. Для более, общих механизмов рассеяния имеются аналогичные, но более сложные условия симметрии, которые играют важную роль при анализе приближения к термодинамическому равновесию.
1) См., например, формулу (43.1) в учебнике Ландау и Лифшица [3].
2) Одними из первых такой полный анализ провели Латтинджер и Кон [4], :322
Глава 12
Свойство симметрии (16.17) позволяет упростить вид столкновительного члена (16.8):
(^T1L1=-Jlf^.*'[*<k>-*(k')]. (16.18)
Заметим, что благодаря свойству симметрии (16.17) квадратичные по g члены в выражении (16.8), появляющиеся там в силу принципа Паули, взаимно сокращаются.
В остающейся части главы будут рассмотрены некоторые типичные задачи, правильная формулировка которых требует более аккуратного описания столкновений, чем это может дать приближение времени релаксации 1J.
