Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Нетрудно проверить, что правило Матиссена нарушается даже в приближении времени релаксации, если т зависит от к. Тогда проводимость а про-
1) Как уже отмечалось, при низких температурах главным механизмом столкновений является рассеяние на примесях.
2) Причина квазиупругости столкновений с колебаниями ионов связана с тем, что изменение энергии электрона ASf не больше энергии максимального колебания ~kBQjy (Sd — температура Дебая, см. гл. 22—24), а высокими считаются температуры, большие по сравнению с Qd. При низких температурах « кВТ (аа счет столкновения с фононами), но такие столкновения редки — чаще электрон сталкивается с примесями (Д$ = 0).— Прим. ред. :324
Глава 12
порциональна некоторому среднему т от времени релаксации [см.,например формулу (13.25)]. Поэтому удельное сопротивление р пропорционально 1/т, и, согласно правилу Матиссена, мы имеем
1/7=1/^П> + 1/т<2). (16.23)
Однако ив (16.21) следуют лишь соотношения типа
(Щ = (1/т'1») + |(17т^), (16.24)
которые не равносильны соотношению (16.23), кроме случая, когда т(1) и т(2) не зависят от к.
Если исходить из более реалистической картины столкновений, то общая применимость правила Матиссена вызывает еще большие сомнения. Действительно, при отказе от предположений приближения времени релаксации становится гораздо менее правдоподобным и предположение о том, что частота столкновений, вызванных одним механизмом, не зависит от присутствия другого. Реальная частота столкновений данного электрона зависит от распределения других электронов, а на него большое влияние может оказывать наличие двух конкурирующих механизмов рассеяния— если только случайно не оказывается, что функция распределения одинакова при наличии каждого из этих механизмов по отдельности.
Можно, однако, доказать, не пользуясь приближением времени релаксации, что правило Матиссена выполняется как неравенство *)
Р>Р(1) + Р<2). (16.25)
Количественные аналитические исследования области применимости правила Матиссена довольно сложны. Оно, конечно, полезно для приближенных оценок, однако всегда следует помнить о возможности серьезных ошибок — возможности, которая не обнаруживается при использовании наивного приближения времени релаксации.
РАССЕЯНИЕ В ИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛАХ
|Иногда говорят, что приближение времени релаксации можно обосновать для изотропных материалов. Это интересное и полезное замечание, но нужно помнить о пределах его справедливости. Оно относится к описанию упругого рассеяния на примесях в изотропном металле. При этом должны выполняться два критических требования 2).
а) Энергия Ш (к) должна зависеть лишь от абсолютной величины к волнового вектора к.
б) Вероятность рассеяния с уровня к на уровень к' должна быть равна нулю при к Ф к' (т. е. рассеяние должно быть упругим), причем величина этой вероятности должна зависеть только от общего значения энергий двух уровней и от угла между к и к'.
*) См., например, книгу Займана [1] и задачу 4.
2) Более подробный анализ показывает, что эти требования должны выполняться лишь для уровней в интервале О (кв Т) вблизи энергии Ферми. Это происходит потому, что окончательный вид функции распределения отличается от локально-равновесного распределения лишь в таком интервале энергий; см., например, формулу (13.43). Поэтому последующий анализ относится не только к идеальному газу свободных электронов, но и к щелочным металлам, поверхности Ферми которых с высокой точностью сферичны,— необходимо лишь, чтобы при энергиях вблизи фермиевской рассеяние было достаточно изотропным. За пределами т-приближения
325
Если выполняется условие «а», то при наличии постоянного пространственно-однородного электрического поля и градиента температуры неравновесная функция распределения в приближении времени релаксации имеет следующий общий вид \см. формулу (13.43)] 1):
g (k) = (к) + а (8) -к, (16.26)
где векторная функция а зависит от к только через его абсолютную величину, т. е. только через Ш (k), a g0 (к) есть локально-равновесная функция распределения. Когда рассеяние представляет собой упругое рассеяние на примесях и выполняются условия «а» и «б», можно показать, что если решение уравнения Больцмана в приближении времени релаксации имеет вид (16.26) 2), то оно служит также решением полного уравнения Больцмана.
Для этого достаточно продемонстрировать, что более точное выражение (16.18) для (dg/dt)coп переходит в выражение (16.9), предполагаемое в приближении времени релаксации, если функция распределения g имеет вид (16.26). Необходимо, таким образом, показать, что можно найти функцию т (к), которая не зависит от функции распределения g. Иначе говоря, мы должны показать, что в том случае, когда функция g имеет вид (16.26) и рассеяние является изотропным упругим рассеянием на примесях, выполняется соотношение
J1If ^k, k. [g(k)-g(k')] =^ [?(k)-g0(k)J. (16.27)
Подставим функцию распределения (16.26) в формулу (16.27) и заметим, что для упругого рассеяния вероятность Wk, k- обращается в нуль при Ш (к) Ф Ф Ш (к'). Тогда, очевидно, вектор a(i') можно заменить вектором а (Ш) и вынести из-под знака интеграла, после чего условие (16.27) можно переписать как 3)
