Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Для произвольного некулоновского потенциала особенность отсутствует. Можно показать, что ее возникновение связано с расходимостью при к = 0 ¦фурье-образа 4яе2/&2 энергии взаимодействия e2/r. В свою очередь такая расходимость обусловлена очень большим радиусом действия силы, пропорциональной обратному квадрату расстояния. Если заменить, например, кулоновское
В действительности термин «корреляционная энергия» употреблен здесь не совсем верно. Приближение Хартри игнорирует электронные корреляции, т. е. iV-электронное распределение вероятности в нем распадается на произведение N одноэлектронных распределений. Волновая функция Хартри — Фока (17.13) не распадается на подобное произведение; следовательно, электронные корреляции уже учитываются на этом следующем уровне аппроксимации. Тем не менее по определению «корреляционная энергия» не включает в себя вклад от «обмена», а содержит лишь следующие поправки, выходящие за рамки теории Хартри — <Х>ока. За пределами приближения независимых электронов
337
взаимодействие взаимодействием вида е2 (e~h°r/r) с фурье-образом (см. задачу 3) 4лC1IQi1 + к\), то расходимость при к — Oj исчезла бы и мы не имели бы нефизической особенности в энергиях Хартри — Фока. Можно показать (см. ниже), что потенциал, входящий в обменный член, следует модифицировать именно таким образом, чтобы учесть поля, которые создаются другими электронами, кроме расположенных в точках гиг'. Эти электроны так перестраивают свое распределение в пространстве, что частично компенсируют поле, действующее со стороны одного электрона на другой. Эффект, называемый «экранировкой», имеет фундаментальное значение не только из-за его влияния на энергию электрон-электронного взаимодействия, но и в более широком смысле, ибо им определяется поведение любого заряженного возмущения в металле 1J.
ЭКРАНИРОВКА (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
Эффект экраьировки — одно из простейших и наиболее важных проявлений электрон-электронного взаимодействия. Мы рассматриваем здесь лишь экранировку в газе свободных электронов. При наличии реального периодического потенциала теория экранировки приобретает значительно более сложный вид, поэтому даже при изучении конкретных металлов часто приходится пользоваться результатами, полученными для свободных электронов.
Предположим, что в электронный газ помещена положительно заряженная частица, которая жестко закреплена в некоторой заданной точке. Она будет притягивать к себе электроны, создавая в своей окрестности избыток отрицательного заряда, который уменьшает (или экранирует) ее поле. При рассмотрении такого экранирования удобно ввести два электростатических потенциала. Первый из них, фехі, создается только самой положительно заряженной частицей и удовлетворяет поэтому уравнению Пуассона
- T^ext (г) = 4лpext (г), (17.27)
где pext (г) есть плотность заряда частицы2). Второй потенциал, ф, есть полный физический потенциал, обусловленный как самой положительно заряженной частицей, так и созданным ею облаком экранирующих электронов. Поэтому он удовлетворяет уравнению
(г) = 4лр (г), (17.28)
где р — полная плотность заряда,
p(r) = p«t(r) + plnd(r), (17.29)
a pind (г) — плотность заряда, индуцированного в электронном газе благодаря наличию внешней частицы.
*) Важный частный случай — ионы в металле, К роли динамического экранирования мы вернемся в гл. 26.
2) Термин «external» («внешний») и индекс «ext», используемые нами для обозначения внесенного заряда, вовсе не означают, что этот заряд находится вне металла; в действительности он помещен как раз внутри него. Они указывают лишь на то, что происхождение подобного заряда связано с раличием некоторого источника, являющегося внешним по отношению к системе электронов. :338
Глава 12
По аналогии с теорией диэлектрических сред предполагают, что ф и фп% линейно связаны друг с другом соотношением вида *)
^ext(r) = j dr'e (г, г') ф (г'). (17.30)
В пространственно-однородном электронном газе е может зависеть лишь от расстояния между точками г и г', но не от их абсолютных координат
є (г, г') = е (г — г'). (17.31)
Тогда (17.30) принимает форму
^ext (r)=j dr'e(r —г')^(г'), (17.32)
откуда следует 2), что для соответствующих фурье-образов справедливо соотношение
фех\ч) = е(Ч)ф(Ч), (17.33) где фурье-образы определяются как
е (q) = j dre-ti-'e (г), (17.34)
eW=Iwi""8^ (17-35>
и аналогично для ф и ^ext.
Величину є (q) называют (зависящей от волнового вектора) диэлектрической проницаемостью металла 3). Записывая соотношение (17.33) в виде
можно сказать, что q-я фурье-комионента полного потенциала, возникающего в электронном газе, равна q-й фурье-компоненте внешнего потенциала, уменьшенной в е (q) раз. Подобные соотношения известны из элементарной теории диэлектриков, где, однако, поля обычно однородны и поэтому зависимость от волновых векторов не имеет значения.
1J Потенциал ф соответствует электрической индукции D (источниками которой являются «свободные» заряды, внешние по отношению к среде); потенциал Ф соответствует электрическому полю Е, которое создается полным распределением заряда, включая как «свободные», так и «связанные» заряды, наведенные в среде. Соотношение
