Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
3) См. стр. 148. За пределами т-приближения
315
центрами рассеяния. Вероятно, это наиболее простой для описания механизм столкновений. Помимо того, однако, могут иметься протяженные дефекты, в которых периодичность решетки нарушена на линии или даже на целой плоскости *).
2. Собственные отклонения от периодичности идеального кристалла, обусловленные тепловыми колебаниями ионов. Даже в отсутствие примесей или дефектов ионы не остаются жестко закрепленными в узлах идеальной периодической решетки, поскольку они имеют определенную кинетическую энергию, которая возрастает с повышением температуры (гл. 21—26). Ниже температуры плавления этой энергии обычно не достаточно, чтобы вызвать большие отклонения иона от идеального положения равновесия. Наличие тепловой энергии проявляется главным образом в малых колебаниях ионов относительно положений равновесия. Нарушение идеальной периодичности ионной решетки, обусловленное такими колебаниями, служит наиболее важной причиной температурной зависимости статического электросопротивления (гл. 26); при комнатной температуре этот механизм рассеяния обычно играет основную роль. При понижении температуры амплитуда колебаний ионов резко уменьшается и в конечном счете преобладающим становится рассеяние на примесях и дефектах.
Помимо механизмов рассеяния, обусловленных отклонениями от идеальной периодичности, есть еще один источник рассеяния, которым пренебрегают в приближении независимых электронов; он связан с взаимодействием между электронами. Электрон-электронное рассеяние 2) играет относительно малую роль в теории проводимости твердых тел; причины этого будут объяснены в гл. 17. При высоких температурах оно гораздо слабее рассеяния на тепловых колебаниях ионов, а при низких температурах над ним всегда преобладает рассеяние на примесях или дефектах решетки (если не рассматривать чрезвычайно чистые и совершенные кристаллы).
ВЕРОЯТНОСТЬ РАССЕЯНИЯ И ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ
При более реалистическом описании столкновений не прибегают к приближению времени релаксации. Вместо этого предполагают существование некоторой вероятности того, что за единицу времени электрон из зоны п с волновым вектором к в результате столкновения перейдет в зону Tl' с волновым вектором к'. (Эта вероятность определяется с помощью соответствующих микроскопических расчетов.) Для простоты ограничимся рассмотрением случая одной зоны 3), предполагая, что испытывающий столкновения электрон остается в ее пределах (т. е. тг' = п). Будем считать также, что рассеяние не меняет направления спина электрона 4). Наконец, мы предполагаем, что столкновения хорошо локализованы в пространстве и времени, так что столкновения, происходящие в точке г в момент ?, полностью определяются свойствами твердого тела в непосредственной окрестности этой точки в момент t. Поскольку все величины, влияющие на столкновения в точке г в момент t, впоследствии будут
1) К этому типу можно отнести и рассеяние на поверхности, которое становится важным, например, в кристаллах с размерами порядка длины свободного пробега.
2) В кинетической теории газов существенно только рассеяние типа электрон-электронного, если не учитывать столкновений со стенками сосуда. В этом смысле электронный газ в металлах совершенно не похож на обычный газ.
3) Рассмотрение легко обобщить на случай межзонных переходов. Однако все особенности, которые мы хотим отметить, полностью обнаруживаются и в случае одной зоны.
4) Ситуация оказывается иной при рассеянии на магнитных примесях; несохранение спина может приводить к ряду очень интересных эффзктов (см. т. 2, стр. 302—304). :316
Глава 12
рассчитываться именно в этой точке, для упрощения обозначений мы в дальнейшем не будем указывать эти переменные.
Вероятность рассеяния выражается через величину И^к-, которую можно ввести следующим образом. Рассмотрим вероятность того, что электрон с волновым вектором к за бесконечно малый интервал времени dt испытает рассеяние и перейдет на любой из уровней (с тем же направлением спина), содержащихся в бесконечно малом элементе объема dk' в /с-простравстве около к'. Эта вероятность равна
Wk ^dtdk' „ ,
-W- (16Л>
Бри этом предполагается, что все интересующие нас уровни не заняты и поэтому переходы на них не запрещены принципом Паули. Конкретный вид функции PFk,к' зависит от вида механизма рассеяния. В общем случае W имеет очень сложную структуру и может зависеть от функции распределения g. Ниже мы рассматриваем одно из наиболее простых выражений для W [формула (16.14)], а пока будем исходить лвшь из существования функции W, а не из ее детальной структуры.
Зная величину W7ktk- и электронную функцию распределения g, можно в явном виде получить вероятность того, что за единицу времени злектрон с волновым вектором к испытает какое-либо столкновение. По определению эта величина равна 1/т (к) (стр. 246); ее структура позволяет выявить некоторые ограничения приближения времени релаксации. Величина Wk,k'dk'/(2jt)s представляет собой вероятность того, что за единицу времени электрон G волновым вектором к в результате рассеяния перейдет на один из уровней (с тем же спином), содержащихся в элементе dk' с центром в к', если все эти уровни не заняты. Следовательно, реальная частота переходов должна быть меньше, причем ее отношение к величине Wk.k'dk7(2jt)8 равно отношению числа незанятых уровней к общему числу уровней (ибо переходы на занятые уровни запрещены принципом Паули). Относительное число незанятых уровней равно х) 1 — g (к'). Полная вероятность столкновения в единицу времени получается суммированием по всем конечным волновым векторам к':
