Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
(-^) coil = - j W (к) [1 - ^ (к')] - (к,) [1 - ^ (к)]}-
(16.8)
В приближении времени релаксации (см. табл. 16.1) это выражение принимает более простой вид:
( d'rff^ ) J1" — ^ ^t (if) ^ (приближение времени релаксации). (16.9)
НАХОЖДЕНИЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.
УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
Отказавшись от приближения времени релаксации, мы уже не можем получить явного выражения для неравновесной функции распределения g через решения полуклассических уравнений движения путем рассмотрения всех прошедших моментов времени, как это было сделано в гл. 13. Однако можно ответить на более скромный вопрос — как найти функцию g в момент t, если известно ее значение в предыдущий бесконечно близкий момент t — dt. За пределами т-приближения
319
Чтобы решить эту задачу, вначале забудем о возможности столкновений за время от t — dt до t, а затем исправим сделанное упущение. Если столкновений не происходит, то координата г и волновой вектор к каждого электрона меняются со временем согласно полуклассическим уравнениям движения (12.6):
г = V (k), Rk=-в (е+-J-VX н) =F (г, ?). (16.10)
Поскольку интервал dt бесконечно мал, мы можем явно решить эти уравнения в линейном порядке по dt: электрон, находящийся в точке г, к в момент времени t, должен был находиться в точке г — v (k) dt, к — F dt/h в момент времени t — dt. В отсутствие столкновений это единственная точка, из которой за время dt электрон может прийти в точку г, к; при этом всякий электрон из этой точки достигнет точки г, к. Следовательно 1J,
g (т, к, t)l=g(T — \(k)dt, к — F dt/h, t — dt). (16.11)
Чтобы^учесть столкновения, необходимо включить в (16.11) два поправочных члена. Во-первых, выражение справа в (16.11) записано в предположении, что за время dt в точку г, к приходят все электроны из точки г — v dt, k — F dt/h, тогда как в действительности часть из них испытывает отклонение в результате столкновений. Во-вторых, в этом выражении не учитываются те электроны, которые оказались в точке г, к в момент і не в результате беспрепятственного полуклассического^, движения в интервале; от t — Д до і, а в результате столкновения, происшедшего за время между t — dt и t. Учитывая эти поправки, мы получаем в главном порядке по dt
g (г, k, t) =
= g (г — v[(k) dt, к — F dt/h,t- dt)-\- (бесстолкновительное движение)
(г k t\ (поправка: некоторые электроны не
+ I g ' —J могут попасть в точку (г, к) из-за стол-
ut кновений),
de (г к t) ® (поправка: некоторые электроны по-
+ (-' ' М. dt падают в точку (г, к) лишь благодаря
ш столкновениям). (16.12)
Если разложить правую часть, оставив лишь линейные по dt члены, то в пределе dt 0 из уравнения (16.12) получаем
-ІІ-4-У —ff + F. -L — g= (-^-) dt • дг ё ^r h ok ° \ dt J
coli
(16.13)
Это знаменитое уравнение Больцмана. Члены в его левой части обычно называют «дрейфовыми», а правая часть известна под названием «столкновительного члена» 2). Если в качестве столкновительного члена использовать выражение
1) Чтобы записать выражение (16.11), нам необходимо также воспользоваться теоремой Лиувилля (приложение 3), согласно которой полуклассические уравнения движения сохраняют объемы в фазовом пространстве. Проведенные в тексте рассуждения доказывают лишь, что
g (г, k, t)dr (t)dk (t) = g (г — V (к) dt, к — F dt/h, t — dt) dr(t — dt) dk(( — dt),
т. е. что элементы объема dT(t)dk(t) и dr(t — dt)dk(t — dt) содержат равное число электронов. Теорема Лиувилля используется для того, чтобы оправдать сокращение величины элемента фазового объема в обеих частях уравнения.
3) Или «интеграла столкновений».— Прим. перев. :320
Глава 12
¦(16.8), то уравнение Больцмана, воэбщэ говоря, становится нелинейным инте-гродифферэнциальным уравнзниэм. Это уравнение лежит в основе теории эффектов переноса в твердых телах. Предложено много тонких и остроумных методов, позволяющих с помощью этого уравнения получать информацию ¦о функции распрэделения и рассчитывать разнообразные кинетические коэффициенты Мы не станем углубляться здесь в этот предмет, а воспользуемся уравнением Больцмана лишь для того, чтобы с его помощью выяснить границы применимости приближения времени релаксации.
Если заменить столкновительный член в уравнении Больцмана выражением (16.9), т. е. воспользоваться приближением времени релаксации, то уравнение упрощается и становится линейным уравнением в частных производных. Можно показать, что функция распрэделения (13.17), полученная в приближении времени релаксации, является решением такого уравнения (как и должно быть, поскольку в основе обоих методов вывода лежат одинаковые допущения). Мы подчеркиваем эту эквивалентность, поскольку очень часто результаты, подобные найденным в гл. 13, получают не прямо из явного выражения (13.17) для функции распределения в приближении времени релаксации, а на первый взгляд совершэнно иным способом — путем решения уравнения Больцмана (16.13) со «столкновительным» членом (16.9), соответствующим приближению времени релаксации. Эквивалентность этих двух подходов продемонстрирована в задачах 2 и 3, где !некоторые из типичных результатов гл. 13 заново выводятся из уравнения Больцмана в приближении времени релаксации.
