Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ашкрофт Н. -> "Физика твердого тела. Том 1" -> 173

Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.

Ашкрофт Н. , Мермин Н. Физика твердого тела. Том 1 — М.: Мир, 1979. — 458 c.
Скачать (прямая ссылка): fizikatverdogotela1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 167 168 169 170 171 172 < 173 > 174 175 176 177 178 179 .. 203 >> Следующая


а ¦ J W (k -k,)=тка (8) •к- (16-28)

Разложим теперь вектор к' на составляющие, параллельную и перпендикулярную вектору к:

к' = к', +кі = (к.к')Ь + кі. (16.29)

Поскольку рассеяние упругое и вероятность H7kiIk' зависит только от угла между кик', она не может зависеть от к^, а следовательно, интеграл

j dk' Wk, k'ki должен обращаться в нуль. Поэтому

j dk'W^ к,к' - j dk'Wk, к'к'|| = к j dk'Wk, к. (к • к') к'. (16.30)

Наконец, поскольку Wk, к' обращается в нуль, когда абсолютные величины векторов к и к' не равны друг другу, множитель к' в последнем подынтегральном выражении в (16.30) можно заменить на А; и вынести из-под знака интегра-

1) Этот вид она сохраняет и при возмущениях, зависящих от времени, а также в присутствии пространственно-однородного постоянного магнитного поля. Если, однако, любое из внешних полей или градиентов температуры зависят от координат, то формула (16.26) несправедлива, и доказать, что решение уравнения Больцмана имеет тот же вид, что и в приближении времени релаксации, уже не удается.

2) Как отмечалось на стр. 320, построенная в гл. 13 функция распределения служит

решением уравнения Больцмана в приближении времени релаксации.

8) Обратите внимание, что равновесная функция распределения g" зависит от к лишь

через % (к) и поэтому исчезает из (16.28), если рассеяние упругое. :326

Глава 12

ла, после чего в комбинации с единичным вектором к он дает вектор к:

JdkWkfl^k =к frfk'HVik<(k.k'). (16.31)

Равенство (16.31) показывает, что левая часть равенства (16.28) действительно имеет такой же вид, как и его правая часть,— необходимо лишь определить т (к) следующим образом х):

Итак, в случае пространственно-однородных возмущений и в изотропном металле с изотропным упругим рассеянием на примесях приближение времени релаксации [в котором время релаксации дается формулой (16.32)] приводит к такому же описанию, как и полное уравнение Больцмана.

Заметим, что определяемое формулой (16.32) время релаксации представляет собой взвешенное среднее от вероятности столкновений, в котором очень мал вес процессов рассеяния вперед (k = к'). Если 6 — угол между к и к', то для малых углов 1 — к -к' = 1 — cos Э « 92/2. Вполне естественно, что рассеяние на малые углы должно давать очень малый вклад в эффективную частоту столкновений. Если бы все столкновения происходили лишь в прямом направлении (т. е. если бы вероятность W^, к' равнялась нулю для к =/= к'), то такие процессы не имели бы никаких последствий. Если допустимые изменения волнового вектора не равны нулю, но весьма малы, то столкновения лишь слегка изменят распределение волновых векторов электронов. После отдельного столкновения электрон не будет, например, «забывать» о полях, которые действовали на него до этого момента, как это требуется приближением времени релаксации. Поэтому, если рассеяние происходит преимущественно вперед, то эффективное обратное время релаксации (16.32) гораздо меньше реальной частоты столкновений (16.2).

Это справедливо и в общем случае: рассеяние вперед всегда дает меньший вклад в эффективные «частоты столкновений», чем рассеяние на большие углы; исключение составляют лишь ситуации, когда измеряется характеристика, •существенно зависящая от точного направления движения определенной группы электронов. В гл. 26 мы увидим, что это замечание оказывается важным для понимания температурной зависимости статического электросопротивления.

ЗАДАЧИ

1. Пусть h (к) — любая одноэлектронная характеристика, полная плотность которой есть

(16.33)

где g — функция распределения электронов. Если, например, h (к) есть энергия электронов % (к), то H —¦ плотность энергии и; если h (к) — заряд электрона —е, то H — плотность заряда р. Значение плотности H в окрестности любой точки меняется, поскольку электроны уходят из этой окрестности и входят в нее как вследствие своего полуклассического движения, так и в результате столкновений. Изменение H из-за столкновений равно

1) Обратите внимание, что даваемое формулой (16.32) время релаксации может зависеть только от величины, а не от направления вектора к.

J-^rfc (к) яі(к), За пределами т-приближения

387

а) Исходя из (16.8), покажите, что величина (dHldt)C0\\ равна нулю, если все столк новения сохраняют величину h [т. е. если рассеяние происходит лишь между уровнями к и к', для которых h (k) = h (к')].

б) Покажите, что, если выражение (16.8) заменить выражением (16.9) в приближении времени релаксации, то величина (dHldt)C0\\ будет равна нулю, лишь если параметры |х (г, і) и T (г, t), характеризующие локально-равновесное распределение /, таковы, что равновесное значение H равно его действительному значению (16.33).

в) Выведите из уравнения Больцмана (16.13) уравнение непрерывности v • j + dp/dt =

= 0.

г) Предполагая, что (du/dt)соц = 0, выведите из уравнения Больцмана (16.13) уравнение (13.83) для потока энергии.

2. На металл действуют постоянное в пространстве электрическое поле и градиент температуры. Пользуясь формулой (16.9) в приближении времени релаксации (где g0 — локально-равновесное распределение, отвечающее приложенному градиенту температуры), решите уравнение Больцмана (16.13) в линейном порядке по полю и градиенту температуры и проверьте, что это решение совпадает с выражением (13.43).
Предыдущая << 1 .. 167 168 169 170 171 172 < 173 > 174 175 176 177 178 179 .. 203 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed