Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ашкрофт Н. -> "Физика твердого тела. Том 1" -> 175

Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.

Ашкрофт Н. , Мермин Н. Физика твердого тела. Том 1 — М.: Мир, 1979. — 458 c.
Скачать (прямая ссылка): fizikatverdogotela1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 169 170 171 172 173 174 < 175 > 176 177 178 179 180 181 .. 203 >> Следующая


№{т)=-е j dr'p(r') |r_^t| . (17.4)

Если по-прежнему придерживаться представления независимых электронов, то каждый электрон, находящийся на уровне х) а));, должен давать следующий вклад в плотность заряда:

р,(г)=-в|г|>,(г)|2. (17.5)

Полная плотность электронного заряда тогда есть

р (*)=-« ^hMOI2. (17.6)

где суммирование ведется по всем занятым одноэлектронным уровням в металле 2).

Подставляя (17.6) в (17.4) и полагая U = CZlon + Uel, приходим к одно-электронному уравнению

-"Іг^ (г)+ ^i0n (г) % (г)+

+ [>2 J*'IМОI2 TF=^n-] (г) = (г). (17.7)

і

Систему уравнений (17.7) [по одному уравнению для каждого занятого одноэлектронного уровня т|)г (г)] называют уравнениями Хартри. Практически эти нелинейные уравнения для одноэлектронных волновых функций и энергий решаются при помощи итераций. Вначале делают некоторое предположение о виде потенциала Uel [член в квадратных скобках в (17.7)] и, воспользовавшись им, находят решение. По получившимся в результате волновым функциям т])і (г) рассчитывается новый потенциал CZel и решается новое уравнение Шредингера. В идеале подобную процедуру следует продолжать, пока последующие итерации перестанут существенно изменять потенциал 3).

В приближении Хартри не удается учесть, как влияет на рассматриваемый электрон конкретное (а не усредненное) расположение остальных N — 1 электронов. Действительно, уравнение (17.7) учитывает лишь взаимодействие электрона с полем, получаемым путем усреднения по всем положениям остальных электронов (с весом, определяемым их волновыми функциями). Даже столь

Здесь индекс і условно обозначает спиновое и орбитальное квантовые числа одноэлек-тролного уровня.

2) Хотя электрон не взаимодействует сам с собой, такое взаимодействие можно не исключать из суммы в (17.6), поскольку учет одного лишнего, «размытого» в пространстве уровня на фоне примерно IO22 других занятых уровней даст лишь пренебрежимо малое изменение плотности.

3) По этой причине приближение Хартри иногда называют приближением самосогласованного поля. За пределами приближения независимых электронов

331

грубая аппроксимация полного уравнения Шредингера (17.2) связана с необходимостью сложных численных расчетов. Использование более точных приближений встречает серьезные трудности.

Имеются, однако, и другие важные свойства электрон-электронного взаимодействия, которые нельзя описать в простом приближении самосогласованного поля, но которые тем не менее удается хорошо понять. В этой главе мы рассмотрим следующие вопросы:

1. Обобщение уравнений самосогласованного поля, позволяющее учесть так называемый «обмен».

2. Явление «экранировки», которое важно при построении еще более точной теории электрон-электронного взаимодействия и используется при объяснении реакции электронов металла на заряженные частицы — ионы, примеси или другие электроны.

3. Теория ферми-жидкости Ландау, которая позволяет феноменологически предсказать качественные эффекты электрон-электронного взаимодействия, а также дает объяснение необычайного успеха приближения независимых электронов.

Мы не станем обсуждать ни одной из многочисленных попыток создания подлинно систематической теории электрон-электронных взаимодействий. Такие работы обычно относятся к задаче многих тел, для решения которой в последние годы используются методы квантовой теории поля, или гриновских функций.

ОБМЕН. ПРИБЛИЖЕНИЕ ХАРТРИ—ФОКА

Уравнения Хартри (17.7) содержат принципиальный недостаток, не очевидный из приведенного вывода.Этот недостаток обнаруживается, если вернуться к точному iV-электронному уравнению Шредингера и преобразовать его к эквивалентному вариационному виду *); тогда решением уравнения НЧ? = EW будет любое состояние на котором достигается стационарное значение величины

„ (У, Я У) ..7Й,

(H)w= , (17.8)

где

(V, Ф)=2 ••• S JrfrI ¦ drNW (TlSit - FjvSjv) Ф (vlf ..., TnSn) • (17.9)

S1 Sjv

В частности, волновой функцией основного состояния является такая функция которая минимизирует величину (17.8). Это свойство основного состояния часто используется для построения приближенных основных состояний путем минимизации выражения (17.8) не по всем а лишь по ограниченному классу волновых функций, форма которых более удобна для вычислений.

Можно показать 2), что уравнения Хартри следуют из минимизации (17.8) по всем функциям ? вида

W (TiSi, r2S2, ..., TnSn) = IjJ1 (T1S1)Ij32(F2S2) . . .IJjjv (TnSn), (17.10)

где г|зг — совокупность N ортонормированных одноэлектронных волновых функций. Таким образом, уравнения Хартри дают наилучшее приближение

г) См. приложение Ж. Там обсуждение проводится для одноэлектронного уравнения Шредингера, но общий случай оказывается даже более простым.

2) Мы оставляем это в качестве упражнения для читателя (задача 1). :332

Глава 12

к полной iV-электронной волновой функции на классе функций, представимых в виде простого произведения одноэлектронных уровней.

Однако волновая функция (17.10) несовместима с принципом Паули, который требует, чтобы функция W меняла знак при перестановке любых двух ее аргументов х):
Предыдущая << 1 .. 169 170 171 172 173 174 < 175 > 176 177 178 179 180 181 .. 203 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed