Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора - Анищенко В.С.
Скачать (прямая ссылка):
Уп+і = хп + 2Уп, mod 1. (5.4)
При условии, что S < 1/2тг, отображение (5.4) есть диффеоморфизм на торе. Другими словами, отображение (5.4) взаимно однозначно (обратимо) и переводит единичный квадрат на плоскости (жп, уп) в себя. Отображение (5.4) является диссипативным, то есть при каждой итерации элемент площади сжимается. Это свойство легко доказать, если вычислить якобиан преобразования (5.4):
J =
1 1 — 2tto sin 2ттУп 1 2
ф 0, І-. (5.5)
Среднее по времени значение \J\ < 1. При этом сигнатура спектра ляпу-новских экспонент представляет собой "+", "—то есть фиксируется наличие перемешивания.
Казалось бы, мы имеем дело с обычным хаотическим странным аттрактором. Но это не так. Главной отличительной особенностью рассматриваемого случая является то, что, несмотря на сжатие площади, движение изображающей точки отображения (5.4) является эргодиче-ским. Точка при п —оо посещает любой элемент единичного квадрата, представляющего полную развертку двумерного тора! Свидетельством этого факта является то, что метрическая размерность аттрактора (емкость по Колмогорову) равна 2. Плотность точек аттрактора, хотя и неравномерна в единичном квадрате, нигде не обращается в нуль. Таким образом, несмотря на сжатие, аттрактором системы (5.4) является весь единичный квадрат. В этом смысле аттрактор Арнольда не является странным, так как ему нельзя приписать фрактальную геометрию.
Несмотря на то, что точки практически полностью покрывают квадрат (как видно из фазового портрета аттрактора на рис. 5.7), плотность их распределения явно неоднородна! Количественной мерой этой неоднородности является величина информационной размерности 1 < Di < 2. Например, для значений S = 0.05 Di ^ 1.96, для Странные нехаотические и хаотические нестранные
75
6 = 0.10 Di ~ 1.84. При этом, как уже говорилось, емкость Dc = 2.0 (это строгий результат Синая). В результате неоднородности плотности распределения вероятностей точек на аттракторе значения всех вероятностно-метрических размерностей аттрактора Арнольда будут лежать в интервале 1 < D < 2. Эти размерности учитывают не только геометрические, но и динамические свойства аттрактора.
XHA обнаружены в ряде других отображений на торе. Можно предположить, что эргодические хаотические движения типичны для диффеоморфизмов на торе. Факт существования XHA в таких отображениях позволяет предполагать, что есть потоковые (дифференциальные) системы в R7v (N ^ 4), имеющие режимы ХНА. Однако до настоящего времени XHA в дифференциальных динамических системах не обнаружены. В связи с этим, в частности, до сих пор является открытым вопрос о возможности существования хаотического аттрактора на поверхности трехмерного тора, вложенного в фазовое пространство размерности N^ 4.
Странные нехаотические аттракторы
Как мы уже говорили, хаотические аттракторы обладают геометрической "странностью"и перемешиванием. Другими словами, сложная динамика перемешивающей системы порождает и геометрическую сложность соответствующего аттрактора. Тем не менее, в случае XHA мы вынуждены разделить эти свойства: перемешивание может не приводить к геометрической "странности"аттрактора. Здесь мы рассмотрим возможность реализации противоположной ситуации, когда система демонстрирует сложный непериодический режим колебаний, асимптотически устойчивый (без перемешивания), а аттрактор при этом явно не является регулярным с точки зрения его геометрической структуры.
Примеры негрубых странных нехаотических аттракторов (СНА) привести нетрудно. По сути дела любой странный хаотический аттрак-
Рис. 5.7. Хаотический нестранный аттрактор в отображении Арнольда при 6 = 0.15. 76 Лекция 5. Аттракторы негиперболических динамических систем
тор в критической точке перехода к хаосу являет собой пример СНА. В критической точке ляпуновский показатель равен нулю (хаоса нет!). По определению такой аттрактор является СНА. Однако он негрубый. С точки зрения физики интерес представляют грубые аттракторы, которые существуют на множестве значений параметров ненулевой меры и сохраняют свою структуру при возмущениях. Как оказалось, динамические системы с грубыми СНА существуют как в дифференциальных, так и в дискретных динамических системах [4,15].
СНА типичны для динамических систем с квазипериодическим возбуждением. Уместно уточнить, что мы понимаем под аттрактором неавтономной системы. Предположим, что автономная динамическая система в Hn находится под действием периодической силы с периодом Tq = ^. Будем анализировать сечение Пуанкаре через период внешней силы. В секущей поверхности t = uTq мы каждый раз (при любом п) будем наблюдать некоторое множество точек. Аттрактором в этом случае называют проекцию этого множества точек в секущих, полученное для последовательности п —ос, на исходную секущую поверхность при п = 1.
Впервые СНА был обнаружен и исследован в отображении
xn+i = Atan(^n) cos 2тгфп,
фп+1 = UJ+ фп, mod 1. (5.6)
Иррациональное значение параметра со чаще всего выбирается равным так называемому золотому сечению: со = 0.5(л/5 — 1). Для значений А > 1 в отображении (5.6) строго доказано существование СНА (рис. 5.8). Но СНА обнаружены также при введении квазипериодического воздействия в отображение окружности, логистическое отображение, отображение Хенона и др.
