Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора - Анищенко В.С.
Скачать (прямая ссылка):
55
мулу (4.2) к указанным трем типам аттракторов, то мы получим нулевую размерность для точки, D = I- для предельного цикла и D = n — для n-мерного тора. Во всех случаях фрактальная размерность строго совпадает с метрической размерностью аттракторов. То обстоятельство, что указанные типы решений являются асимптотически устойчивыми, а размерность D дается целым числом и строго совпадает с метрической, позволяет назвать указанные типы аттракторов регулярными. Нарушение одного из сформулированных условий исключает аттрактор из класса регулярных. Как стало ясным, нерегулярные (хаотические) аттракторы требуют введения специальной классификации [4,15].
Странные (хаотические) аттракторы
Новый тип аттрактора динамической системы (4.1) был впервые обнаружен Лоренцем в 1963 г. при численном исследовании знаменитой теперь модели Лоренца. Строгое математическое доказательство существования непериодических решений системы (4.1) было дано в 1971 году Рюэлем и Такенсом, ими же было введено понятие странного аттрактора как образа детерминированного хаоса. С тех пор явление детерминированного хаоса и понятие странного аттрактора во многих работах практически однозначно связывают друг с другом. Однако при более детальном рассмотрении это оказывается не всегда справедливым и требует пояснений.
Грубые гиперболические аттракторы
Доказательство существования странного аттрактора было дано в жестком предположении, что динамическая система (4.1) является грубой гиперболической. Что это означает? Система является гиперболической, если все фазовые траектории седловые. Точка как образ траектории в сечении Пуанкаре в гиперболической системе всегда является седлом. Грубость означает, что при малом возмущении правых частей (4.1) и вариации управляющих параметров в конечной области их значений все траектории продолжают оставаться седловыми.
Гиперболические аттракторы должны удовлетворять следующим условиям:
1) состоять из континуума "неустойчивых листов" или кривых, всюду плотных в аттракторе, вдоль которых близкие траектории экспоненциально расходятся; 56
Лекция 4- Гиперболические аттракторы...
2) в окрестности любой точки иметь геометрию произведения канто-рова множества на интервал;
3) иметь окрестность в виде расщепленных устойчивых слоев, вдоль которых близкие траектории сходятся к аттрактору.
Таким образом, грубость означает, что свойства 1—3 сохраняются при возмущениях.
Рис. 4.1. Седловая точка Qi как образ гиперболической траектории в сечении Пуанкаре.
На рис. 4.1 представлена седловая траектория Г и соответствующие точки Qi ее пересечения с секущей поверхностью Пуанкаре S. Данный рисунок иллюстрирует также локальное поведение устойчивых и неустойчивых многообразий седловой точки Qi.
Однако того, что локально точка Qi пересечения TcS является грубым седлом, оказывается недостаточно для грубой гиперболичности. Необходимы некоторые условия относително глобальных (нелокальных) свойств устойчивых и неустойчивых многообразий.
Обратимся к рис. 4.2. В силу наличия аттрактора устойчивые и неустойчивые многообразия Ws и Wu обязаны быть сосредоточены в области Go- При этом они могут пересекаться с образованием гомоклинических точек (поверхностей), образуя так называемые го-моклинические структуры, которые в грубых гиперболических системах обязаны быть грубыми. Это означает, что с топологической точки зрения структура пересечения Ws и Wu должна соответствовать рис. 4.2,а и не меняться качественно при возмущениях. Случаи рис. 4.2,6"
S Странные (хаотические) аттракторы 57
Рис. 4.2. Возможные случаи пересечения устойчивой и неустойчивой сепаратрис седловой точки Qi в сечении Пуанкаре.
и в исключаются из рассмотрения, так как характеризуют два негрубых явления: явление замыкания многообразий с образованием петли (рис. 4.2,6) и явление касания устойчивого и неустойчивого многообразий (рис. 4.2,в). Если нелокальные свойства многообразий при возмущениях динамической системы приводят к негрубым ситуациям, изображенным на рис. 4.2,6и в, возможны бифуркации решений. В грубых гиперболических системах никаких бифуркаций происходить не должно. При возмущениях системы траектория Г всегда остается седловой, что соответствует случаю рис. 4.2,а. Как мы увидим в дальнейшем, негрубые случаи рис. 4.2,6 и в являются причиной появления более сложно устроенных хаотических притягивающих множеств — так называемых квазиаттракторов. Странные (в смысле Рюэля-Такенса) аттракторы всегда являются грубыми гиперболическими предельными множествами.
Основной чертой, отличающей странные хаотические аттракторы от регулярных, является экспоненциальная неустойчивость фазовой траектории на аттракторе. Спектр ляпуновских экспонент в этом случае включает, как минимум, один положительный показатель. В соответствии с (4.2) фрактальная размерность аттрактора всегда больше двух и в общем случае не будет выражаться целым числом. Минимальная размерность фазового пространства, в которое можно "вложить" странный 58
Лекция 4- Гиперболические аттракторы...
