Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора - Анищенко В.С.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 5.1. Аттракторы, реализующиеся в системе Хенона, и структура бассейнов их притяжения в фазовом пространстве (хп,уп) при Ъ = 0.3
Рис. 5.2. Зависимость старшего ляпуновского показателя системы Хенона от начальных значений координаты х при у = 0.5 и 6 = 0.3 для а = 1.078 (а) и от параметра а при Ъ = 0.3 (б).
Бассейн аттрактора для а = 1.32 (рис. 5.1,6) выглядит однородным, что должно свидетельствовать о наличии лишь одного аттрактора. Однако известно, что в системе сосуществуют устойчивые циклы больших периодов с очень узкими бассейнами притяжения, которые в численном счете не регистрируются.
Если менять управляющий параметр а в области квазиаттрактора 1.1 < а < 1.4, то наблюдается чередующаяся картина смены регулярных и хаотических аттракторов. Результаты расчетов старшего ляпу- Квазиаттракторы и их свойства
69
новского показателя Ai в зависимости от а представлены на рис. 5.2,6: зависимость Ai (а) характеризуется наличием как положительных, так и отрицательных значений Ai, что свидетельствует о нерегулярном чередовании хаотических и периодических аттракторов в системе при вариации параметра.
В хаотических аттракторах модели Хенона отмечаются и другие характерные особенности: спектры мощности в зависимости от тактности лент хаотических аттракторов имеют J-выбросы на кратных частотах, а AKФ может вообще не спадать до нуля в случае, если тактность ленты равна 2 и больше.
В аттракторе Хенона нарушается условие трансверсальности пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий сед-ловых циклов на счетном множестве значений параметров, при которых имеет место касание многообразий. На рис. 5.3 представлены расчеты устойчивых и неустойчивых сепаратрис седло-вой точки. В некоторых точках устойчивая Ws и неустойчивая Wu сепаратрисы касаются друг друга, угол между ними равен нулю. Если проследить за эволюцией угла между многообразиями вдоль хаотической траектории, то можно рассчитать распределение вероятностей угла ф между многообразиями Р(ф). Результаты представлены на рис. 5.4,o и свидетельствуют о том, что вероятность обращения значения угла ф в нуль достоверно отлична от нуля, то есть касание имеет отличную от нуля вероятность.
Если изменять параметр а системы и вычислять вероятность Р5(? принятия углом между многообразиями значения вблизи нуля (6ф ^ 1°), то получим результаты, представленные на рис. 5.4,6.
Как видно из графика, существует счетное множество значений параметра, при которых вероятность P5Ф обращается в нуль. Эти значения параметра а четко соответствуют наличию периодических аттракторов отображения (ср. с данными рис. 5.2,6). Обращение Р6ф в нуль, вообще говоря, может свидетельствовать о реализации режима гипер-
X
Рис. 5.3. Поведение устойчивого и неустойчивого многообразий седло-вой точки q отображения Хенона при а = 1.3, Ъ = 0.3. 70 Лекция 5. Аттракторы негиперболических динамических систем
р(Ф)
0.04
0.02
0.01
0.00
0.00
0
20
40
60
80 ф
1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 а б
а
Рис. 5.4. Распределение вероятностей угла ф между направлениями устойчивого и неустойчивого многообразий хаотической траектории аттрактора Хенона для а = 1.179 при Ь = 0.3 (o); зависимость вероятности Ps^ попадания угла ф между многообразиями в малую окрестность нуля (5ф ^ 1°) от управляющего параметра системы а при b = 0.3 (б).
болического хаоса, однако в проведенных экспериментах это условие соответствовало реализации режимов регулярных циклов отображения Хенона*.
Наконец, обсудим свойство квазиаттрактора, весьма важное в плане анализа и трактовки экспериментальных результатов. Обратимся к рис. 5.1. Структура бассейнов притяжения свидетельствует о высокой чувствительности системы к точности задания начальных условий. Проведем следующий эксперимент. Выберем значение параметра а = 1.078, при котором в (5.1) сосуществуют 2 хаотических аттрактора. На рис. 5.5,o и б представлены плотности распределения вероятностей р(хп,уп) для аттракторов. Добавим в уравнения (5.1) аддитивный, близкий к белому, шум интенсивности D = 5-10_6. Воздействие слабого шума индуцирует объединение аттракторов в один (рис. 5.5,в). Результирующий режим не зависит от того, какой из аттракторов был выбран первоначально путем задания соответствующих начальных данных.
Отметим, что при b ^ 0 модель Хенона (5.1) переходит в известную одномерную модель логистического отображения:
Отображение (5.2) необратимо и диффеоморфизмом не является. Тем
Хп+1 = I- CLX2n
(5.2)
*В силу специфики алгоритма вычислений вероятность приравнивалась нулю, если фазовая траектория не имела неустойчивого направления. Квазиаттракторы и их свойства
71
не менее, свойства аттракторов модели (5.2) качественно будут повторять все вышеперечисленные свойства отображения Хенона.
Рис. 5.5. Плотности распределения вероятностей р(х,у) на хаотических аттракторах, сосуществующих в системе Хенона при а = 1.08, в отсутствие шума (а, б); эффект воздействия шума интенсивности D = 5 -IO-6 на приведенные распределения вероятностей (в).
