Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора - Анищенко В.С.
Скачать (прямая ссылка):
Как будет показано в следующей лекции, более реалистической моделью хаоса являются так называемые негиперболические динамические системы и соответствующие им хаотические аттракторы, имеющие более сложную структуру и иные свойства. Лекция 5
Аттракторы негиперболических динамических систем
В лекции дается определение квазиаттрактора как математического образа динамического хаоса в фазовом пространстве негиперболических динамических системы. На примере дискретной и дифференциальной динамических систем иллюстрируются основные свойства квазиаттракторов. Приводятся определения и описываются свойства нестранных хаотических и странных нехаотических аттракторов.
In the lecture we formulate a definition of a quasiattractor as the mathematical image of dynamical chaos in the phase space of nonhyperbolic dynamical systems. General properties of quasiattractors are illustrated with some discrete and differential dynamical systems. Definitions and properties of nonstrange chaotic and strange nonchaotic attractors are described. 66 Лекция 5. Аттракторы негиперболических динамических систем
Введение
Рассмотренные в предыдущей лекции гиперболические аттракторы динамических систем являются математической идеализацией и, как правило, не соответствуют реальности. На практике наиболее распространены динамические системы, в которых реализуются негрубые го-моклинические траектории типа изображенных на рис. 4.2,6 и в. В соответствии с теорией Ньюхауса следствием негрубой гомоклиники является рождение множества устойчивых периодических аттракторов с ис-чезающе малыми бассейнами притяжения. Периодические аттракторы сосуществуют в фазовом пространстве системы наряду с хаотическими и резко усложняют структуру аттрактора реальной динамической системы. Для описания структуры и свойств хаоса вводится определение квазиаттрактора как математического образа хаоса в негиперболических динамических системах [3,4,15].
Как показали исследования, квазиаттакторы являются типичными притягивающими множествами и более адекватно иллюстрируют свойства экспериментально наблюдаемых хаотических режимов колебаний. В настоящей лекции мы дадим определение и проиллюстрируем на ряде примеров свойства негиперболических аттракторов.
Квазиаттракторы и их свойства
В системах с квазиаттракторами реализуются режимы детерминированного хаоса, характеризуемые экспоненциальной неустойчивостью траекторий и фрактальной структурой аттрактора. С этой точки зрения характеристики указанных режимов автоколебаний идентичны основным характеристикам грубых гиперболических аттракторов и квазигиперболических аттракторов. Однако есть весьма существенное различие, которое требует понимания во избежание неверной трактовки экспериментальных результатов. Отличительной чертой квазиаттракторов является одновременное сосуществование счетного множества различных хаотических и регулярных притягивающих подмножеств в ограниченном элементе объема фазового пространства системы при фиксированных значениях ее параметров. Эта совокупность всех сосуществующих предельных множеств траекторий в ограниченной области Go фазового пространства, куда стремятся все или почти все траектории из области Gі, включающей Go, и называется квазиаттрактором динамической системы. Отсюда следует чрезвычайно сложная структура вложенных бассейнов их притяжения. Но этим сложность не ограничивается. При конечной вариации параметров системы в силу эффектов го- Квазиаттракторы и их свойства
67
моклинического касания реализуются каскады различных бифуркаций как регулярных, так и хаотических аттракторов. Соответственно осуществляется бифуркационная перестройка их бассейнов притяжения. Причиной сложности квазиаттракторов являются эффекты гомокли-нического касания устойчивых и неустойчивых многообразий седловых траекторий или возникновение петли сепаратрисы седло-фокуса, которые имеют место на множестве значений параметров ненулевой меры. Другими словами, нарушается условие трансверсальности многообразий.
Если при этом учесть, что бассейны притяжения сосуществующих предельных множеств могут иметь фрактальную структуру и составлять чрезвычайно узкие области в фазовом пространстве, то становится понятно, насколько важны проблемы точности расчетов на ЭВМ и влияния флуктуаций.
Квазиаттрактор в отображении Хенона. Рассмотрим структуру и свойства квазиаттрактора известной модели Хенона:
Хп+1 = 1 - + уп,
Уп+1 = Ъхп. (5.1)
При 0 < b < 1 отображение (5.1) является диссипативным и характеризуется наличием квазиаттрактора. Отображение (5.1) взаимно однозначно, то есть является диффеоморфизмом. Отображение Хенона отличается от отображения Лози тем, что в качестве нелинейности включает гладкую квадратичную функцию.
Рассмотрим фазовые портреты притягивающих множеств системы (5.1) вместе с бассейнами притяжения и их эволюцию при вариации параметра а для b = 0.3. Рис. 5.1,o иллюстрирует режим сосуществования двух хаотических притягивающих подмножеств на фазовой плоскости. Видна сложная структура вложенных бассейнов их притяжения. Если менять начальные условия, то наблюдается резкое чередование двух режимов. На рис. 5.2,o представлены результаты расчета старшего показателя Ляпунова для а = 1.078 в зависимости от изменения начального значения координаты х при фиксированном у. Максимальный показатель Ai случайным образом "скачет"между значениями Ai = 0.126 и Ai = 0.062, свидетельствуя о переходах системы с одного хаотического аттрактора на другой. Если сравнить эти результаты с видом структуры бассейнов притяжения (рис. 5.1,а), то становится понятным, почему это происходит. Изменение начальных условий приводит к пересечению границ соответствующих бассейнов притяжения. 68 Лекция 5. Аттракторы негиперболических динамических систем
