Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Анищенко В.С. -> "Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора " -> 31

Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора - Анищенко В.С.

Анищенко В.С. Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора — Институт компьютерных исследований , 2002. — 144 c.
Скачать (прямая ссылка): znakomstvosnelineynoydinamikoy2002.pdf
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 49 >> Следующая


In this lecture the effect of forced synchronization of periodical oscillations is discussed using the Van der Pol generator as example. The influence of fluctuations and effective forced synchronization are considered. The generic and fundamental priority of the rezults is illustrated by complex example of synchronization of cardiorhythm. Введение

93

Введение

Синхронизация автоколебаний — одно из фундаментальных нелинейных явлений природы. Его можно рассматривать как простейший пример самоорганизации взаимодействующих систем. Под синхронизацией обычно понимают установление некоторых соотношений между характерными временами, частотами или фазами колебаний парциальных систем в результате их взаимодействия. Эффект синхронизации, открытый Гюйгенсом еще в XVII веке, привлек к себе особый интерес ученых в нашем столетии в связи с развитием науки и техники. В настоящее время детально разработана ставшая классической теория синхронизации периодических автоколебаний, рассмотрены случаи синхронизации квазипериодических колебаний и колебаний в присутствии случайных флуктуаций [16]. В рамках классической теории различают вынужденную синхронизацию, то есть синхронизацию автоколебаний внешним сигналом, и взаимную синхронизацию, наблюдающуюся при взаимодействии двух и более автоколебательных систем. В обоих случаях проявляются одни и те же эффекты синхронизации, связанные с двумя классическими механизмами: захватом собственных частот (и, соответственно, фаз) колебаний или же подавлением одной из собственных частот взаимодействующих систем.

Синхронизация периодических колебаний. Классическая теория

Среди наиболее типичных физических явлений, наблюдающихся в динамических системах при внешнем гармоническом возбуждении, отметим резонанс, синхронизацию и возбуждение режима динамического хаоса. Эффект резонанса, хотя и очень важный в естествознании, однако является наиболее простым среди названных выше.

Рассмотрим линейный диссипативный осциллятор при внешнем возбуждении гармонической силой:

X + rJX + OUQX = a smcuit . (7.1)

Если зафиксировать амплитуду воздействия a = const и пронаблюдать отклик системы при вариации частоты си і и коэффициента диссипации 7, то мы получим результат, представленный на рис. 7.1. Явление резонанса заключается в резком возрастании амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты внешней силы си і с собственной ча- 94

Лекция 7. Синхронизация колебаний

стотой автономного осциллятора сор = yjuoо — Резонанс харак-

теризуется типичными зависимостями А{иоі), которые носят название резонансных кривых. Резонансные свойства систем широко распространены в природе и используются в технике. В частности, эффект резонанса служит одним из основных при создании динамических систем, способных совершать незатухающие периодические колебания в автономном режиме.

Примером могут служить так называемые генераторы томсо-новского типа, близкие к линейным консервативным осцилляторам. Если к резонансной системе с малой диссипацией подключить усилитель и ввести обратную связь, удовлетворяющую неким специальным амплитудным и фазовым условиям, то мы получим генератор незатухающих близких к гармоническим колебаний.

Генератор Ван дер Поля. Наиболее простым и классическим примером генератора томсо-новского типа служит известная модель Ван дер Поля [6,16]:

Рис. 7.1. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний в системе (7.1) от частоты внешнего воздействия для различных значений коэффициента диссипации. Остальные параметры: ujq = 1.0, а = 0.2.

x-e(l- х2)х + = 0, (7.2)

где ? — малый положительный параметр, характеризующий степень обратной связи, uuq — частота периодических колебаний. Математическим образом устойчивых незатухающих периодических колебаний на фазовой плоскости (х,х) является замкнутая фазовая траектория, названная А. Пуанкаре предельным циклом.

С физической точки зрения понятию предельного цикла отвечает режим так называемых "автоколебаний", когда характеристики устойчивого периодического режима не зависят от начальных условий, а определяются исключительно свойствами самой системы. Система (7.2) характеризуется единственным состоянием равновесия типа фокус на фазовой плоскости (х,х) в нуле координат. Собственные значения со- Синхронизация периодических колебаний...

95

стояния равновесия легко вычислить [3]:

(7.3)

Как следует из (7.3), при переходе є через нуль в область положительных значений состояние равновесия теряет устойчивость. При ? = О имеем Sі52 = =Ьі. Состояние равновесия типа фокус претерпевает бифуркацию рождения предельного цикла Андронова-Хопфа. Амплитуда цикла растет пропорционально корню квадратному из надкритичности (у/є)*, а период цикла при 0 < є < 1 определяется соотношениями

то есть частота генерации при 0 < є < 1 близка к собственной частоте резонансного контура ujo-

Рассмотрим динамику генератора (7.2) при воздействии на него аддитивной гармонической силы [16]:

Получить решение уравнения (7.5) с помощью компьютера не представляет труда. Однако для понимания сути динамических явлений проведем приближенное аналитическое исследование, которое позволит нам глубже понять физический смысл эффекта синхронизации. Для этого обсудим вначале понятие фазы колебаний. Термин "фаза колебаний" первоначально был введен для гармонических процессов типа x(t) = A exp (icjt) = = A (cosout + і smut). В полярной системе координат это колебание изображается как вращение вектора А с постоянной угловой скоростью оо. Фазе колебаний отвечает угол поворота вектора А во времени ф = ujt. Значению угла в начальный момент времени фо = uuto отвечает начальная фаза, с которой регистрируется колебательный процесс во времени t > to.
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 49 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed