Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора - Анищенко В.С.
Скачать (прямая ссылка):
то уравнения (6.2) сводятся к уравнению (6.1). Если же переменная z зависит от X инерционным образом, т.е. задается дифференциальным уравнением 1-го порядка, то уравнения (6.2) описывают процессы колебаний в трехмерном фазовом пространстве и являются обобщением уравнения (6.1) на этот случай.
Известные динамические системы, моделирующие колебания в генераторах с 1.5 степенями свободы, допускают форму записи вида (6.2) с исключением третьей переменной и, при необходимости, с введением гладких замен масштабов координат и времени.
Общая форма записи трехмерных динамических систем в виде (6.2) не вскрывает в деталях принципиальные с физической точки зрения различия конкретных систем, такие как способ возбуждения колебаний, возможность генерирования двухчастотных колебаний, хаотических колебаний и пр. При необходимости можно вводить в рассмотрение некоторые подклассы систем, удовлетворяющих (6.2), но отличающихся по некоторым признакам в связи с конкретными ограничениями на явный вид функций Fi(x,z,?) в (6.2). В частности, выделяют два подкласса генерирующих систем, удовлетворяющих в общем виде уравнениям (6.2), но отличающихся механизмами возбуждения колебаний. В первом подклассе возбуждение автоколебаний осуществляется благодаря компенсации собственных потерь при положительной обратной связи. Ко второму подклассу систем относят генераторы, представляющие собой некоторый диссипативный контур, параметрически возбуждаемый за счет инерционного воздействия усиленного сигнала с контура на элементы самого контура.
Однако указанное разделение автоколебательных систем по типу самовозбуждения колебаний с точки зрения общих механизмов перехода к
к
(6.3) 84
Лекция 6. Модифицированный генератор
Рис. 6.2. Классическая схема генератора с инерционной нелинейностью.
хаосу не является принципиальным. Имея разную физическую основу, автоколебания с ростом управляющего параметра могут претерпевать идентичные каскады бифуркаций.
Модифицированный генератор с инерционной нелинейностью
Модифицированный генератор с инерционной нелинейностью (ГИН) является одной из базовых моделей детерминированного хаоса. Достаточно простая и понятная с радиофизической точки зрения модель ГИН демонстрирует все характерные для квазиаттракторов закономерности, причиной возникновения которых является наличие в системе состояния равновесия типа "седло-фокус". Модель ГИН базируется на классической схеме генератора Теодорчика и в предельных случаях переходит в модель генератора Ван дер Поля.
В классическом генераторе с инерционной нелинейностью Теодорчика автоколебания обеспечиваются введением в колебательный кон-тур термосопротивления R(T), свойства которого нелинейным образом зависят от протекающего через него тока (рис. 6.2).
Уравнение для тока i(t) в контуре имеет вид
dH dt2 +
где So — крутизна характеристики усилителя, который предполагается линейным; M — взаимная индуктивность цепи обратной связи; R(T) — сопротивление термистора, зависящее от температуры Г; L и С — индуктивность и емкость в колебательном контуре.
R(T) MSp ~L LCr
dz J_ 1 дR(T) dT Jt + LC + L дТ ~dt
і = О,
(6.4) Модифицированный генератор с инерционной нелинейностью
85
Полагая зависимость R(T) линейной (R(T) = R0 + LbT) и считая, что процесс теплообмена подчиняется закону Ньютона:
HT
Pd— + кТ = R(T))2,
где q — удельная теплоемкость нити термистора, а р — ее масса, получаем замкнутую систему уравнений вида
d2i 9 , T^di dT - + ^ot = Oi-KD--In-,
dT
^+7Т = а(Т)Л (6.5)
где ? = CJ2S0M - R0/Ц CJ2 = 1/LC; 7 = k/pq\ а(Т) = а0 + bLT/pq; а0 = R0/pq. В безразмерных переменных х = аг, у = —ж, z = ЬТ/ио0, г = а;оt, а = yjabpq/uu0k уравнения (6.5) принимают вид
ж = тпх + у — XZ,
У = -ж, (6.6)
і = —?/^ + ^x2.
Здесь ш = д/с^о = c^oSoM — Rq/ojqL, Sf = 7/^0, x = dx/dr.
В трехмерной двупараметрической системе (6.6) параметр m пропорционален разности вносимой и рассеиваемой энергий, g — параметр, характеризующий относительное время релаксации термистора. В дальнейшем ти будем называть параметром возбуждения, a g — параметром инерционности генератора.
Рассмотрим схему, изображенную на рис. 6.3. Здесь колебательный контур в отличие от классического случая (рис. 6.2) не содержит нелинейных элементов. Усилитель 1 управляется дополнительной цепью обратной связи, содержащей линейный усилитель 2 и инерционный преобразователь. Дифференциальные уравнения генератора можно записать в явном виде, конкретизировав зависимость S(x,V) усилителя 1 и задав уравнения инерционного преобразования V(x).
Аппроксимируем полиномом функцию S1(X)1 т.е. крутизну усилителя 1, без учета воздействия дополнительной обратной связи:
S1(X) = S0-S1X2, (6.7)
где X — напряжение на входе усилителя 1; So и Si — постоянные положительные коэффициенты. Предположим, что механизм воздействия 86
Лекция 6. Модифицированный генератор
Рис. 6.3. Модифицированная схема генератора с инерционной нелинейностью.
цепи инерционной обратной связи подчиняется закономерности
