Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора - Анищенко В.С.
Скачать (прямая ссылка):
61
Рис. 4.5. Поведение устойчивого и неустойчивого многообразий седло-вого состояния равновесия q отображения Лози при а = 1.7, Ь = 0.3.
Р(Ф) ;
о.ю -
0.05 -
0.00 І-0
Рис. 4.6. Распределение вероятностей угла ф между направлениями устойчивого и неустойчивого многообразий хаотической траектории на аттракторе Лози для а = 1.7, b = 0.3 (а); зависимость минимального угла фтіп от параметра системы а при b = 0.3 (б).
Система Лози является одной из простейших, для которых условие гиперболичности траекторий на хаотическом аттракторе можно проверить в численном эксперименте. С этой целью была разработана специальная программа, позволяющая рассчитать вероятность Р(ф) угла ф между направлениями устойчивого и неустойчивого многообразий сед-ловой траектории (хп,уп) при п —> оо (рис. 4.6,а) [4]. Расчеты углов были проведены для 18000 точек на аттракторе. Из графика видно, что существует некоторое минимальное значение, принимаемое углом и оно отлично от нуля. Минимальное значение фтіп зависит от парамет-
П 1 1 1 г
0 40 60 а
38.0
1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 а б62
Лекция 4- Гиперболические аттракторы...
ров отображения (рис. 4.6,6). Во всем интервале значений а, где существует хаотический аттрактор, минимальный угол между направлениями устойчивого и неустойчивого многообразий фазовой траектории больше 40° и в нуль не обращается. Многообразия хаотических траекторий ведут себя так же, как и многообразия седлового цикла: они всегда трансверсальны.
Аттрактор Лоренца. Рассмотрим пример квазигиперболического аттрактора в дифференциальной системе — в системе Лоренца. Для аттрактора Лоренца, как и для аттрактора Лози, нарушается одно из требований гиперболичности (условие 2). Аттракторы типа Лоренца обнаружены в ряде систем и являют собой типичный пример квазигиперболических аттракторов. Доказано, что аттрактор Лоренца включает только седловые траектории, при вариации параметров бифуркации в нем отсутствуют, устойчивые точки или циклы не возникают. Аттрактор Лоренца характеризуется качественно теми же свойствами, что и аттрактор Лози, и рассматривается как классический пример квазигиперболического хаоса.
Уравнения Лоренца были получены из уравнений Навье-Стокса в задаче о тепловой конвекции и имеют вид
где <т, b и г — управляющие параметры. К уравнениям типа (4.4) сводятся некоторые модели лазеров, а также модель дискового динамо [3,4,9].
X = —а(х — у), у = гх — у — Xz1 і = ху — bz,
(4.4)
/К
CJ
20-
10-
0
10
20
30
->
40 г
Рис. 4.7. Бифуркационная диаграмма системы Лоренца на плоскости параметров г и о для b = 8/3.Странные (хаотические) аттракторы
63
Отметим, что в системе (4.4) режим квазигиперболического хаоса реализуется в конечной области значений ее управляющих параметров. На рис. 4.7 представлена бифуркационная диаграмма системы (4.4). Существованию аттрактора Лоренца отвечает заштрихованная область в параметрическом пространстве. Фазовый портрет аттрактора Лоренца представлен на рис. 4.8,а. Вне указанной области свойства хаотического аттрактора будут иными: аттрактор Лоренца трансформируется в квазиаттрактор.
Назовем типичные свойства аттрактора Лоренца: спектр ЛХП не изменяется при вариации начальных условий, так как аттрактор Лоренца является единственным, бассейном притяжения которого служит все фазовое пространство; спектр ЛХП практически не меняется, если варьировать управляющие параметры системы в области существования аттрактора Лоренца. Эти свойства наглядно иллюстрируют грубость аттрактора Лоренца с точки зрения эксперимента: структура аттрактора сохраняется при вариации параметров и начальных условий, бифуркации аттрактора отсутствуют.
Рис. 4.8. Фазовый портрет (а) и автокорреляционная функция (б) аттрактора Лоренца при а = 10, г = 28 и b = 8/3.
Следствием хаотической динамики является характерный вид автокорреляционной функции. Автокорреляционная функция аттрактора Лоренца экспоненциально спадает с увеличением времени практически монотонно, что иллюстрирует рис. 4.8,6 Сравнение графиков автокорреляционных функций аттракторов Лоренца и Лози свидетельствует о качественной эквивалентности динамических процессов в почти гиперболических системах.64
Лекция 4- Гиперболические аттракторы...
Заключение
В лекции мы рассмотрели свойства грубых гиперболических диссипативных динамических систем и привели определение аттрактора. С целью понимания основных отличий хаотических решений от регулярных, проанализированы понятия регулярного и хаотического аттракторов. В качестве математического образа хаотических автоколебаний рассмотрены понятия грубого гиперболического и квазигиперболического аттракторов и проанализированы их основные свойства. Гиперболические и квазигиперболические аттракторы отражают классические свойства детерминированного хаоса, но являются в определенной степени идеальной моделью хаоса. Это отражается в основных свойствах гиперболических аттракторов: гиперболический аттрактор всегда единственный, имеет однородный бассейн притяжения, не меняет своей структуры при вариации параметров системы и начального состояния. В то же время гиперболический аттрактор характеризуется экспоненциальной неустойчивостью фазовых траекторий на нем и фрактальной геометрией, то есть является странным в сравнении с регулярным аттрактором.