Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора - Анищенко В.С.
Скачать (прямая ссылка):
Ряд особенностей СНА является основанием для выделения этих объектов в отдельный класс.
Геометрические характеристики СНА. Аттрактор (например, на фазовой плоскости) образуется кривой бесконечной длины, недиф-ференцируемой на плотном множестве точек. Эта кривая, подобно кривой Пеано, плотно покрывает часть фазовой плоскости так, что метрическая размерность (емкость) СНА оказывается строго равной 2. Но, в отличие от отображения (5.4), в этом случае все же нельзя считать, что часть плоскости является аттрактором, так как совокупная мера точек, принадлежащих аттрактору, равна нулю. Этот факт отражается в равенстве информационной размерности Dj единице (что соответствует Странные нехаотические и хаотические нестранные
77
линии, но не плоскости). В связи с отсутствием положительного показателя в спектре ЛХП ляпуновская размерность СНА равна единице. Несмотря на целочисленную метрическую размерность, СНА, как правило, демонстрирует самоподобие структуры и вследствие этого — свойства скейлинга. Совокупность указанных свойств позволяет говорить о "странной"геометрии СНА.
Рис. 5.8. Странный нехаотический аттрактор в отображении (5.6) для А = 1.5.
Спектр ЛХП странного нехаотического аттрактора. Динамика системы в режиме СНА не является хаотической ввиду отсутствия перемешивания. Экспоненциальной неустойчивости траекторий на аттракторе в среднем нет. В спектре ЛХП отсутствует положительный показатель. Сигнатура спектра ЛХП фазовых траекторий на СНА не отличается от соответствующей сигнатуры спектра ЛХП квазипериодического движения. Однако СНА нельзя считать квазипериодическим аттрактором, в частности, потому, что локальный (рассчитанный на конечном времени) старший показатель спектра ЛХП траектории на СНА будет положительным (доказано, что вероятность того, что старший локальный ляпуновский показатель будет положительным, отлична от нуля).
Спектр и автокорреляционная функция. Отсутствие перемешивания в режиме СНА обусловливает отсутствие в строгом смысле 78 Лекция 5. Аттракторы негиперболических динамических систем
непрерывной (сплошной) компоненты в спектре мощности. В то же время, спектр траектории на СНА не является дискретным! Спектр СНА занимает как бы промежуточное положение между дискретным и непрерывным случаями и имеет специальное название: сингулярно-непрерывный спектр. Особенность сингулярно-непрерывного спектра в том, что он включает плотное множество (5-пиков самоподобной структуры и обладает свойствами фракталов.
Так как спектр СНА не является непрерывным, автокорреляционная функция Ф(т) не стремится к нулевому пределу При T —> оо. Для траекторий на СНА, как правило, наблюдается спадание Ф(т) до некоторого предельного ненулевого уровня. При этом Ф(т), также как и спектр, будет демонстрировать масштабно-инвариантные свойства.
Необходимо отметить, что диагностика режима СНА в численных экспериментах представляет собой весьма трудную, нестандартную задачу и требует проведения тонких вычислений с использованием хорошей современной техники. В противном случае режим СНА и квазипериодический режим с большим числом комбинационных частот в спектре различить не удается.
Заключение
Анализ структуры и свойств аттракторов нелинейных диссипативных систем как образов сложных непериодических автоколебаний, проведенный в лекциях 4 и 5, позволяет сделать следующие выводы:
• Классические свойства детерминированного хаоса как непериодических экспоненциально неустойчивых решений соответствующих динамических систем демонстрируют грубые гиперболические системы и системы типа Лоренца. Им соответствуют в качестве математических образов странные (или практически странные) аттракторы. Их отличительной особенностью является фрактальность геометрической структуры аттрактора, дробная метрическая размерность и наличие хотя бы одного положительного показателя спектра ЛХП как следствие перемешивания. Грубые гиперболические аттракторы и аттракторы типа Лоренца малочувствительны к шумовому воздействию. Бассейны притяжения таких аттракторов являются гладкими, однородными; свойства аттрактора не чувствительны к изменению начальных условий.
• Более сложными объектами являются квазиаттракторы, которые включают конечную или бесконечную совокупность регулярных и хаотических притягивающих подмножеств, сосуществующих одновременно Заключение
79
при фиксированных параметрах системы. Вариация параметров системы приводит к различным бифуркациям этих подмножеств, которых может быть бесконечное число при конечном изменении параметров. Бассейны притяжения сосуществующих аттракторов представляют собой чрезвычайно сложную структуру вложенных областей, обладающих фрактальной геометрией. В результате квазиаттракторы демонстрируют высокую чувствительность к изменению начальных условий и действию шума.
• Экспоненциальная неустойчивость индивидуальных траекторий и "странная"геометрия аттрактора однозначно не связаны. Существуют режимы хаотических (неустойчивых) автоколебаний, которым соответствуют регулярные в геометрическом смысле аттракторы. Это так называемые хаотические нестранные аттракторы. С другой стороны, можно наблюдать непериодические устойчивые по Ляпунову колебания, соответствующий аттрактор которых является странным геометрическим объектом. В этом случае мы имеем дело со странными нехаотическими аттракторами. Лекция 6
