Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора - Анищенко В.С.
Скачать (прямая ссылка):
аттрактор, оказывается равной трем. Таким образом, режим детерминированного хаоса можно наблюдать в дифференциальных динамических системах размерности N ^ 3.
В математике известны, по крайней мере, два примера грубых гиперболических аттракторов: аттрактор Смейла-Вильямса и аттрактор Плыкина. К сожалению, в реальных системах естествознания режим строго гиперболического грубого хаоса до сих пор не обнаружен. Истинно "странные" аттракторы являются идеальной, но недостижимой пока моделью детерминированного хаоса.
Квазигиперболические аттракторы.
Аттракторы типа Лоренца
Условия гиперболичности аттрактора, сформулированные выше, для реальных динамических систем не выполняются. Вместе с тем известны динамические системы, аттракторы которых являются близкими к гиперболическим. Такие аттракторы являются хаотическими, не включают устойчивых регулярных аттракторов и сохраняют эти свойства при возмущениях. С математической же точки зрения, для таких систем нарушается, по крайней мере, одно из трех условий гиперболичности, сформулированных выше.
Мы будем называть почти гиперболические аттракторы квазигиперболическими. Известны квазигиперболические аттракторы Лози, Белы-ха и аттракторы типа Лоренца [4]. Для указанных аттракторов существуют строгие доказательства того, что они являются квазигиперболическими в указанном выше смысле. Целесообразно выявить и систематизировать отличительные экспериментальные характеристики квазигиперболических аттракторов, которые можно использовать для их диагностики при компьютерном моделировании.
Квазигиперболический аттрактор в системе Лози. Обоснование существования квазигиперболического аттрактора в динамической системе требует доказательства двух положений: 1) в аттракторе все фазовые траектории являются неустойчивыми; 2) при вариации параметров системы устойчивых траекторий не возникает. Эта сугубо математическая задача в силу нелинейности динамической системы не может быть решена в общем виде. Однако применительно к некоторым конкретным динамическим системам эта задача, к счастью, имеет решение.
Рассмотрим наиболее простой пример — аттрактор Лози в двумер- Странные (хаотические) аттракторы
59
ной дискретной динамической системе:
xn+i = 1 - а\хп\ + уп,
уп+1 = Ъхп. (4.3)
Система (4.3) представляет собой нелинейное взаимно однозначное дис-сипативное (для b < 1!) отображение, которое в силу диффеоморфизма является в строгом смысле отображением Пуанкаре некоторой дифференциальной системы с размерностью фазового пространства N = 3. Поэтому свойства, обнаруженные и доказанные для этой системы, будут достоверно применимы к потоку в R3.
Z I Gi
к
У Illk — ilk вник Jill
Шяяш, 4ИИВ
нннк JmBmBmmBmik ШШШШШк ч 4ННННВ
-2
ШШЯШШіШШШШЯЯЯШШ
_I_
-2X2
Рис. 4.3. Аттрактор Лози Со и бассейн его притяжения Gi для а = 1.5 при Ъ = 0.3 (траектории из серой области имеют в качестве аттрактора бесконечность).
Теоретически установлено, что в системе (4.3) в области значений 1.3 < а < 1.8 существует единственный хаотический аттрактор, который не содержит устойчивых неподвижных точек. Этот аттрактор известен в литературе как квазигиперболический аттрактор Лози, для которого нарушается 2-е условие гиперболичности.
На рис. 4.3 приведен аттрактор Лози и область (бассейн) его притяжения. Аттрактор Лози Со — единственное притягивающее множество в интервале 1.3 < а < 1.8 при b = 0.3 с однородным бассейном притяжения Gі. Любая начальная точка (жо, 2/о)? принадлежащая бассейну притяжения Ci, со временем стремится к аттрактору Лози. 60
Лекция 4- Гиперболические аттракторы...
0.8
0.6
0.4
0.2
O-Oi
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
k
Рис. 4.4. Автокорреляционная функция для а = 1.75. Пунктирной линией показана аппроксимация экспоненциальной функцией (Ai = 0.53 — старший ляпуновский показатель, соответствующий параметру а).
Характерной является зависимость старшего показателя Ляпунова от параметра а. При фиксированном b = 0.3 аттрактор Лози возникает жестко при акр = 1.3 и остается хаотическим во всей области существования 1.3 < а < 1.8. Зависимость Ai (а) не имеет провалов до нуля и представляет собой гладкую положительно определенную функцию. Этот результат отражает факт отсутствия устойчивых неподвижных точек (окон устойчивости) в области существования аттрактора Лози.
Спектр мощности S(и), рассчитанный по координате хп в области существования аттрактора Лози, является гладкой функцией и не включает явных выбросов на каких-либо характерных частотах. Вследствие этого автокорреляционная функция (АКФ) процесса хп спадает по закону, близкому к экспоненциальному (рис. 4.4).
Как уже отмечалось, для грубых гиперболических аттракторов должно выполняться условие трансверсальности пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий седловой траектории. Сопоставление рис. 4.3 и 4.5 показывает, что устойчивые многообразия седловых циклов определяют границы бассейна притяжения аттрактора, а сам хаотический аттрактор располагается вдоль неустойчивых сепаратрис, повторяя их форму. Из рис. 4.5 видно, что пересечение многообразий всюду трансверсально и появление гомоклинических траекторий не ведет к рождению устойчивых периодических орбит. Гиперболическое хаотическое множество — единственное притягивающее предельное множество в фазовом пространстве системы (4.3). Странные (хаотические) аттракторы
