Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора - Анищенко В.С.
Скачать (прямая ссылка):
С физической точки зрения нарастание амплитуды не может происходить до бесконечности. На первом этапе, когда отклонение от исходного состояния мало, оно может нарастать. А дальше? Дальше, в силу ограниченности энергетических ресурсов системы, это нарастание должно прекратиться или смениться уменьшением амплитуды отклонения. Любой новый режим должен иметь конечную амплитуду и управляют этими процессами нелинейные законы. Мы говорим о нелинейности в том случае, когда свойства системы непосредственно зависят от ее состояния. Приведем пример. Пусть зависимость амплитуды отклонения f(x) от исходного состояния X определяется следующим соотношением:
f(x) = кх-Ъх3, (3.2)
где к и Ь — постоянные положительные коэффициенты. Если X 1, то
Ьх3 «Ьи
f(x) ^ кх. (3.3)
В случае (3.3) f{x) линейно растет с ростом х. Если же х становится сравнимым с единицей, то членом Ьх3 пренебрегать уже нельзя. В случае (3.2) рост отклонения f(x) за счет члена кх начнет испытывать нелинейное ограничение в силу вычитания величины Ьх3. При некоторых значениях х величина отклонения (3.2) вновь будет близка к нулю и все начнется сначала: отклонение начнет нарастать, достигнет максимума и затем, испытывая ограничение, опять уменьшится. Система будет как бы автоматически себя регулировать, так как ее свойства зависят от ее текущего состояния.
Неустойчивость и нелинейное ограничение
Теперь рассмотрим неустойчивую детерминированную систему с учетом действия механизма нелинейного ограничения нарастаний возмущений. Для простоты рассмотрим состояние равновесия, которому 42
Лекция 3. Детерминированный хаос
отвечает точка в пространстве фазовых координат системы. Выведем систему из равновесия малым отклонением. Это возмущение начнет нарастать в силу неустойчивости. Далее нарастание возмущения начнет замедляться (вступит в силу механизм нелинейного ограничения). Что можно ожидать в этой ситуации? Во-первых: в силу нелинейного ограничения отклонение уменьшится строго до нуля. Система вернется в исходное состояние равновесия. Теоретически это возможно, однако очень маловероятно, так как исходное состояние равновесия неустойчиво. Более вероятна вторая ситуация: система вернется в малую окрестность исходного состояния (подойдет очень близко к состоянию неустойчивого равновесия) и вновь (в силу неустойчивости) начнет от него удаляться. Этот процесс будет длиться бесконечно во времени! Но реализация такого процесса требует некоторых специальных условий.
Предположим, что мы имеем дело с двумерной дифференциальной динамической системой. Пространство ее состояний — фазовая плоскость с координатами х и у. Если малое возмущение состояния равновесия в такой системе будет нарастать, а далее в результате нелинейного ограничения уменьшаться, то возможны два варианта: появление новых устойчивых состояний равновесия вблизи неустойчивого, либо выход траектории на новый режим, отвечающий периодическим колебаниям.
Рис. 3.1. Рождение устойчивого предельного цикла Г в окрестности неустойчивого равновесия О. Поведение траекторий при малых (а) и при больших (б) отклонениях от равновесия.
Второй вариант иллюстрирует рис. 3.1. При малых амплитудах возмущения (рис. 3.1,а) траектория по спирали удаляется от точки равно-
Г
а
б Детерминированный хаос
43
весия О. При больших отклонениях (рис. 3.1,6) траектория возвращается. В результате вместо потерявшего устойчивость состояния равновесия появляется новый режим — периодические автоколебания, которым отвечает предельный цикл Г на фазовой плоскости.
Неустойчивость состояния равновесия в двумерной системе при наличии механизма нелинейного ограничения нарастания возмущений порождает новый режим — режим устойчивых периодических колебаний. Если мы вообразим себе иную ситуацию, когда отклонение от состояния равновесия вначале нарастает, а затем в силу нелинейности вновь стремится к нулю, мы придем к противоречию: фазовая траектория обязана будет самопересекаться (рис. 3.2)! Но это будет означать, что существуют различные начальные условия, приводящие в процессе эволюции к одинаковым состояниям! Это невозможно в силу понятия детерминизма, которое в данном примере проявляется в содержании теоремы единственности решения: при заданных начальных условиях решение существует и оно единственное, другого не дано.
Детерминированный хаос
Картина принципиально изменится, если мы рассмотрим динамическую систему, состояние которой характеризуется тремя независимыми переменными (фазовыми координатами). Другими словами, давайте повторим наши рассуждения, осуществив выход с плоскости в трехмерное фазовое пространство. Ничто не запрещает нам реализовать ситуацию рис. 3.2 в пространстве трех измерений. Траектория раскручивается в трехмерном пространстве, удаляясь от точки О по спирали. Достигнув некоторых значений и испытывая действие механизма нелинейного ограничения, траектория вновь вернется в окрестность исходного состояния. Далее, ввиду неустойчивости, процесс будет повторяться (см. рис. 1.6). Возможны два варианта: траектория, спустя конечное вре-
