Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора - Анищенко В.С.
Скачать (прямая ссылка):
49
ствием для ее детального анализа. И выяснилось, что в таких системах хаотический режим функционирования скорее правило, чем исключение!
Странные аттракторы
Математическим образом режима функционирования диссипатив-ной динамической системы служит аттрактор — предельное множество траекторий в фазовом пространстве системы, к которому стремятся все траектории из некоторой окрестности этого множества. Если это предельное множество есть устойчивое состояние равновесия — аттрактор системы будет просто неподвижной точкой, если это устойчивое периодическое движение — аттрактором будет замкнутая кривая, называемая предельным циклом. Раньше считалось, что аттрактор есть образ исключительно устойчивого режима функционирования системы. Сейчас мы понимаем, что режим детерминированного хаоса тоже аттрактор в смысле определения предельного множества траекторий в ограниченной области фазового пространства (см. рис. 1.6). Однако такой аттрактор имеет два существенных отличия: траектория такого аттрактора непериодическая (она не замыкается) и режим функционирования неустойчив (малые отклонения от режима первоначально нарастают). Именно эти отличия и привели к необходимости ввести в рассмотрение новый термин. С легкой руки известного математика Ф. Такенса такие аттракторы стали называть странными.
Каков критерий "странности"? Как установлено теоретиками, основным критерием странности аттрактора является неустойчивость траектории. Причем неустойчивость обязана быть экспоненциальной! Это означает, что малое возмущение режима D(O) должно во времени увеличиваться по экспоненте:
где Л — показатель Ляпунова.
Оказалось, что положительность величины А говорит не только об экспоненциальной неустойчивости режима колебаний, но доказывает наличие в системе перемешивания. Если установлено, что исследуемый режим имеет положительный показатель Ляпунова А > 0, то следствием будут: непериодичность в зависимости от времени любой из координат состояния, сплошной спектр мощности (в спектре колебаний присутствуют все частоты из некоторого интервала) и спадающая во време-
D(t) = D(O) є
M
(3.4) 50
Лекция 3. Детерминированный хаос
ни автокорреляционная функция. До недавнего времени с таким поведением указанных характеристик однозначно связывали представления о случайном процессе. Теперь мы знаем, что подобными свойствами может обладать процесс, порождаемый детерминированными законами. Это обстоятельство и послужило основанием называть такие процессы детерминированным хаосом.
Выводы
В результате простого качественного рассмотрения особенностей нелинейных диссипативных динамических систем мы пришли к ряду новых принципиальных выводов. Вот основные из них:
• В дифференциальных системах с размерностью фазового пространства N ^ 3 теоретически возможны установившиеся непериодические режимы колебаний.
• Принципиальной особенностью таких колебаний является их неустойчивость, что приводит к чувствительной зависимости динамики системы от малых возмущений.
• Неустойчивость нелинейной системы в совокупности с ограниченностью энергии колебаний может вызывать перемешивание.
• Наличие перемешивания приводит к необходимости введения статистического описания динамики детерминированных систем со странными аттракторами как наиболее удобного.
Перечисленные результаты убеждают нас в том, что режимы функционирования детерминированных нелинейных систем со странными аттракторами действительно обладают рядом специфических свойств, совокупность которых включается в понятие "детерминированный хаос". Лекция 4
Гиперболические (странные) аттракторы динамических систем
В лекции дается определение аттрактора диссипативной динамической системы с конечным числом степеней свободы. Формулируются условия грубой гиперболичности, рассматриваются квазигиперболические аттракторы и их основные свойства.
In the lection the definition of an attractor of a dissipative dynamical system with a finite number of freedom degrees is given. The conditions of robust hyperbolicity are formulated and quasi-hyperbolic attractors and their major properties are considered. 52
Лекция 4- Гиперболические аттракторы...
Введение
Одним из основных методов исследования автоколебательных систем является формулировка и анализ решений уравнений, описывающих их динамику. Поэтому математический раздел "динамические системы" является одним из основных при фундаментальной подготовке по теории колебаний. Автоколебательные режимы могут иметь место исключительно в нелинейных и диссипативных динамических системах.
В силу сжатия фазового объема предельное множество фазовых траекторий в диссипативных системах всегда будет иметь нулевой объем. Однако структура предельного множества при этом может быть различной: точка, линия, поверхность или множество поверхностей, имеющее в сечении Пуанкаре структуру типа канторовой. Эти отличия в структуре предельного множества фазовых траекторий составляют основу классификации типов аттракторов динамических систем [15].
