Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора - Анищенко В.С.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 3.2. Поведение динамической системы, которое невозможно реализовать на плоскости в силу пересечения фазовых траекторий. Реально эта картина получается путем проекции трехмерной траектории на плоскость двух переменных 44
Лекция 3. Детерминированный хаос
мя, замкнется, демонстрируя наличие некоторого сложного, но периодического процесса; траектория будет воспроизводить некий апериодический процесс, если при t —оо замыкания не произойдет. Второй случай и отвечает режиму детерминированного хаоса! Действительно, работает основной принцип детерминизма: будущее однозначно определено начальным состоянием. Однако, процесс эволюции системы сложный, непериодический. Чисто внешне он ничем не отличается от случайного! Однако при более детальном анализе вскрывается одно важное отличие этого процесса от случайного: этот процесс воспроизводим! Действительно, повторив еще раз начальное состояние, в силу детерминированности мы вновь однозначно воспроизведем ту же самую траекторию независимо от степени ее сложности. Значит этот непериодический процесс не является хаотическим в смысле определения хаоса, данного нами выше? Да, это сложный, похожий на случайный, но тем не менее детерминированный процесс. Важно здесь то, что он характеризуется неустойчивостью, и это обстоятельство позволяет нам понять еще одно принципиально важное свойство систем с детерминированным хаосом — перемешивание.
Перемешивание
Мы установили, что в диссипативных системах, размерность фазового пространства которых N ^ 3, теоретически возможен режим сложных непериодических пульсаций. Этот тип движения детерминирован и характеризуется неустойчивостью. К чему это приводит? Давайте рассуждать. Вначале поговорим об устойчивых режимах движения в детерминированных диссипативных динамических системах.
Рассмотрим в качестве начального состояния не точку с определенными координатами в пространстве состояний х°, а малую сферу радиуса б > 0, окружающую эту точку. Любая точка внутри сферы характеризует малое отклонение от X0. Сфера включает совокупность возможных отклонений от исходного состояния, не превышающих по модулю б. Теперь применим оператор эволюции и проследим за трансформацией этой сферы. В силу устойчивости выбранного нами режима любое малое отклонение во времени должно затухать! Это означает, что под действием детерминированного закона эволюции шарик радиуса є во времени будет сжиматься и при t оо его радиус уменьшится до нуля! Сказанное выше иллюстрирует рис. 3.3. Исходный фазовый объем в диссипативных системах во времени уменьшается. Это означает в данном случае, что малые возмущения в итоге будут затухать и система вновь вернется в исходный режим, который является устойчивым. Перемешивание
45
А если исходный режим неустойчив? Что будет в этом случае? Фазовый объем может увеличиваться до бесконечности, если неустойчивая система линейна. Но если система нелинейна и диссипативна, то процесс эволюции начального малого фазового объема будет весьма нетривиальным. Попытаемся это понять.
Неустойчивость режима ведет к росту возмущений. Это одно обстоятельство. Второе — дисси-пативные системы вне зависимости от вида устойчивости вызывают уменьшение элемента фазового объема во времени до нуля, что связано с потерями энергии. Как совместить эти два фактора? Существует единственное решение этой дилеммы: элемент фазового объема по некоторым направлениям должен растягиваться, а по другим сжиматься. Причем, степень сжатия в среднем должна обязательно превалировать над степенью расширения, чтобы в итоге фазовый объем во времени уменьшался! В нелинейных диссипативных системах это оказывается возможным. Вышесказанное иллюстрирует рис. 3.4. В силу наличия механизма нелинейного ограничения фазовая траектория сложного режима колебаний сосредоточена в ограниченной области фазового пространства (см. рис. 1.6). При этом любая малая окрестность исходного начального состояния эволюционирует так, как показано на рис. 3.4, ив итоге перемешивается по всей области, занятой траекторией. Этот процесс весьма трудно представить себе наглядно.
Проведем мысленный эксперимент. В стакан с водой поместим маленькую чаинку и размешаем воду чайной ложкой, вызвав неустойчивость. Чаинка будет при этом двигаться по сложной спиралеобразной траектории, которая обусловлена движением воды в стакане. При этом в любой заданный момент времени мы теоретически можем зафиксировать ее координаты х(?) в объеме воды! Теперь вместо чаинки поместим в стакан с водой очень маленькую капельку чернил и вновь размешаем воду чайной ложкой. Что при этом произойдет? Чернила практически
2
Рис. 3.3. Сжатие первоначальной области неопределенности 1 во времени в случае, когда цикл Г является устойчивым предельным режимом. 46
Лекция 3. Детерминированный хаос
Рис. 3.4. Эволюция малого первоначального фазового объема 1 во времени в системе со странным аттрактором, иллюстрирующая перемешивание. Исходный объем 1 сжимается по одним и растягивается по другим направлениям (2, 3, 4), изгибается (5, 6), "складывается" (7, 8) и в итоге перемешивается по аттрактору (9).
