Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Анищенко В.С. -> "Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора " -> 24

Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора - Анищенко В.С.

Анищенко В.С. Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора — Институт компьютерных исследований , 2002. — 144 c.
Скачать (прямая ссылка): znakomstvosnelineynoydinamikoy2002.pdf
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 49 >> Следующая


Квазиаттрактор в модифицированном генераторе с инерционной нелинейностью. Рассмотрим дифференциальную динамическую систему (генератор Анищенко-Астахова [3]), иллюстрирующую механизм рождения и типичные свойства квазиаттрактора в системах с петлей сепаратрисы седло-фокуса состояния равновесия. Эта модель представляет собой трехмерную двухпараметрическую дифференциальную систему уравнений:

X = тх + у — XZ, У = -х,

і = -gz + gl(x)x2,

(5.3)

где 1(х)

1. X > 0,

0, х^О.

Зафиксируем значения параметров т = 2.412, д = 0.097 и вычислим зависимость старшего показателя спектра ЛХП от начальных условий. 72 Лекция 5. Аттракторы негиперболических динамических систем

Результаты представлены на рис. 5.6,а и свидетельствуют о сосуществовании двух хаотических и периодического режимов колебаний.

При изменении параметров системы совокупность ее предельных множеств претерпевает бифуркации. Иллюстрацией этого факта может служить график зависимости старшего показателя спектра ЛХП от параметра ж, представленный на рис. 5.6,6. Обращение в нуль показателя Ai свидетельствует о рождении одного из множеств предельных циклов, претерпевающих каскады бифуркаций удвоения периода. Бифуркации аттракторов сопровождаются изменением структуры бассейнов их притяжения, которые приобретают фрактальные свойства.

X1

-4.0 -3.5 -3.0

а

Рис. 5.6. Зависимости старшего показателя Ляпунова от начальных значений координаты х при ж = 2.412, ?/ = 0.097 (а) и от параметра ж при g = 0.3 (б).

Присутствие в квазиаттракторе устойчивых и седловых циклов наряду с хаотическими предельными множествами проявляется в структуре автокорреляционной функции, которая в среднем экспоненциально спадает во времени, и в структуре спектра мощности, являющегося сплошным. Однако в структуре АКФ присутствуют периодические компоненты и в спектре заметны резкие выбросы на некоторых характерных частотах. Эти особенности АКФ и спектра хаотического режима являются типичными и существенно отличают квазиаттрактор от аттрактора Лоренца, также как квазиаттрактор Хенона от квазигиперболического аттрактора Лози.

Фрактальность границ бассейнов притяжения и свойство системы, обусловленное множеством бифуркаций режимов при малом шевелении параметров, приводят к высокой чувствительности системы к внешним шумовым возмущениям подобно аттрактору Хенона. Безусловно, фундаментальной причиной совокупности указанных свойств квазиаттрак- Странные нехаотические и хаотические нестранные

73

тора является счетное множество гомоклинических касаний устойчивых и неустойчивых многообразий, в силу которого системы типа (5.3) являются негрубыми. В системе Хенона эффекты гомоклинического касания можно наблюдать в численном эксперименте, в трехмерных системах это более сложная задача. Однако данные рис. 5.6 являются, безусловно, следствием эффекта гомоклинического касания и могут рассматриваться в качестве типичных характеристик квазиаттрактора.

Странные нехаотические и хаотические нестранные аттракторы

Хаотические аттракторы описанных выше трех типов объединяют два принципиальных свойства: сложная геометрическая структура (как следствие — дробная метрическая размерность) и экспоненциальная неустойчивость индивидуальных траекторий. Именно эти свойства используются экспериментаторами в качестве критериев при диагностике режимов детерминированного хаоса.

Однако нерегулярные аттракторы как математические образы сложной динамики вышеописанными типами хаотических аттракторов не исчерпываются. Выяснилось, что хаотическое поведение в смысле наличия перемешивания и геометрическая "странность" аттрактора могут не соответствовать друг другу. Странные в геометрическом понимании аттракторы могут не быть хаотическими ввиду отсутствия экспоненциальной неустойчивости фазовых траекторий. С другой стороны, есть примеры перемешивающих диссипативных систем, аттракторы которых не являются в строгом смысле странными, то есть не характеризуются фрактальной структурой и дробной метрической размерностью [4].

Другими словами, существуют конкретные примеры диссипативных динамических систем, аттракторы которых характеризуются следующими свойствами:

1) при регулярной геометрической структуре с точки зрения целочисленной метрической размерности индивидуальные фазовые траектории в среднем экспоненциально неустойчивы;

2) при сложной геометрической структуре траектории асимптотически устойчивы; перемешивание отсутствует.

Первый тип называют хаотическим нестранным аттрактором (XHA), второй — странным нехаотическим аттрактором (СНА). 74 Лекция 5. Аттракторы негиперболических динамических систем

Хаотические нестранные аттракторы

Хаотические аттракторы, не являющиеся с точки зрения их геометрии странными, известны относительно давно, однако изучены недостаточно. В качестве примера динамической системы с XHA можно привести модифицированное отображение Арнольда. Это отображение представляет собой известное "cat map" с добавлением нелинейного периодического слагаемого:

хп+1 = хп-\- Уп + S COS 27туп, mod 1,
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 49 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed