Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора - Анищенко В.С.
Скачать (прямая ссылка):
Долгое время с образом динамического хаоса связывался так называемый странный аттрактор. Все нетривиальные режимы автоколебаний, общим свойством которых являлось отсутствие периодичности во времени, ассоциировались именно со странным аттрактором. Позднее выяснилось, что хаотические автоколебания по своим свойствам могут существенно различаться, что обусловливает различия в структуре соответствующих им аттракторов. Оказалось, что странный аттрактор есть образ некоторого "идеального" хаоса, удовлетворяющего ряду математических требований. Было установлено, что в реальных системах режим странного (в строгом смысле) аттрактора не реализуется. То, что мы наблюдаем в экспериментах, чаще всего отвечает режимам квазигиперболического аттрактора или квазиаттрактора. Квазиаттракторы более сложно устроены. Отличительной особенностью гиперболических, квазигиперболических аттракторов и квазиаттракторов является экспоненциальная неустойчивость фазовых траекторий и дробная размерность. Экспоненциальная неустойчивость является критерием хаотического поведения системы. Дробная метрическая размерность свидетельствует о том, что аттрактор - сложный геометрический объект [3, 4].
В настоящей лекции приводятся определения и свойства гиперболических и почти гиперболических аттракторов дифференциальных и дискретных диссипативных нелинейных динамических систем с конечным числом степеней свободы. Что такое аттрактор?
53
Что такое аттрактор?
Изменение во времени состояния автономной динамической системы описывается либо системой обыкновенных дифференциальных уравнений, либо системой дискретных отображений:
^jj- = Xi = (4.1)
Хп+1 = fi(Xm Хп 5 • • • 5 Хп 5 AtI 5 • • • 5 Mfc)?
і = 1,2,..., TV.
Здесь (t) (или х^) — переменные, однозначно описывающие состояние системы (ее фазовые координаты); щ (I = 1, 2,..., к) — параметры системы; fi(x, /а) — в общем случае нелинейные функции. Решение системы (4.1) существует, единственно для данных начальных условий (или хг0) и гладко зависит от изменения начального состояния (теорема Коши).
Будем говорить исключительно об автоколебательных режимах движения системы (4.1). Это означает, что в системе существуют установившиеся колебания, характеристики которых не зависят в определенных пределах от выбора начального состояния. В качестве предельного случая сюда же мы отнесем и режим устойчивого состояния равновесия.
Обратимся к фазовому пространству Hn системы (4.1), зафиксировав значения всех параметров системы /?. Пусть имеется некоторая конечная (или бесконечная) область Gi5 принадлежащая Riv, которая включает в себя подобласть Go- Области Gi и Go удовлетворяют следующим условиям:
1) для любых начальных условий х^(0) (или хг0) из области Gi при t —> оо (или п —оо) все фазовые траектории рано или поздно достигают области Go;
2) область Go представляет собой минимальное компактное подмножество в фазовом пространстве системы;
3) если фазовая траектория принадлежит области Go в момент времени t = t\ (п = пі), то она будет принадлежать Go всегда, то есть для любых t ^ t\ [п > п\) фазовая траектория будет находиться в области Gq.
Если эти условия выполняются, то область Go называется аттрактором динамической системы (4.1). Другими словами, аттрактор Go — 54
Лекция 4- Гиперболические аттракторы...
это инвариантное относительно закона (4.1) минимальное предельное множество траекторий системы, куда стремятся и там остаются любые траектории из области Gі, охватывающей Gq. Область Gі называется областью (или бассейном) притяжения аттрактора Go. В области Gi могут существовать исключительно переходные, нестационарные типы движений. Предельное множество Gо отвечает установившимся (предельным) типам движения.
Регулярные аттракторы
До открытия детерминированного хаоса было известно всего три типа устойчивых установившихся решений динамической системы (4.1): состояние равновесия, когда после переходного процесса система достигает стационарного (не меняющегося во времени) состояния, устойчивое периодическое решение и устойчивое квазипериодическое решение. Соответствующими аттракторами дифференциальной системы в этих случаях являются: точка в фазовом пространстве, предельный цикл и предельный n-мерный тор. Сигнатура спектра ляпуновских характеристических показателей (ЛХП) фазовой траектории в этих случаях будет [3]:
"—","—",...,"—" — состояние равновесия,
" 0 — — ",...," — " — предельный цикл,
" 0 0 О - n-мерный тор, п ^ 2.
4-V-'
П
Непериодическим решениям системы (4.1) могут соответствовать странные хаотические аттракторы сложной геометрической структуры, которые имеют, по крайней мере, один положительный ляпуновский показатель и, как следствие, дробную размерность, определяемую по формуле Каплана—Йорка [3]:
D=j+w (4-2)
где j — наибольшее целое число, для которого Ai +А2 + • • • +Aj ^ 0. Ляпу-новская размерность D1 рассчитанная по формуле (4.2), представляет собой одну из фрактальных размерностей множества и служит оценкой снизу для метрической размерности аттрактора. Если применить фор- Странные (хаотические) аттракторы
