Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора - Анищенко В.С.
Скачать (прямая ссылка):
S = S1(T) -bV = So- S1T2 - bV, (6.8)
где V = V(x) — напряжение на выходе инерционного преобразователя; b — параметр. Пусть инерционное преобразование осуществляется в соответствии с уравнением
V = -^V + (f(x). (6.9)
Уравнение для тока в контуре генератора (рис. 6.3)
Ldi/dt + Ri + С~1 /(г- MSdi/dt)dt = О
совместно с уравнениями (6.8) и (6.9) дает замкнутую систему, сводящуюся в безразмерных переменных к виду
X = тх + у — XZ — dx3, у = —ж, і = — gz + дФ(х), (6.10)
где d = d(Si) — параметр, отвечающий степени влияния нелинейности крутизны характеристики; Ф(ж) — функция, описывающая свойства инерционного преобразователя. В генераторе действуют два механизма нелинейного ограничения амплитуды колебаний. Первый — безынерционный и связан с нелинейностью характеристики усилителя, второй — инерционный, обусловленный зависимостью крутизны S от напряжения V. Пусть усилитель работает на линейном участке характеристики Модифицированный генератор с инерционной нелинейностью
87
(Si = 0), а инерционный преобразователь собран по схеме двухполупе-риодного квадратичного детектора с ЛС-фильтром и описывается уравнением
і = —gz + gx2. (6-11)
Параметр инерционности g равен отношению периода колебаний контура Tq к ПОСТОЯННОЙ Времени фильтра Tf = RfCf.
При сделанных предположениях уравнения (6.10) переходят в уравнения классического генератора (6.6). Значит, если усилитель 1 линейный, а инерционный преобразователь удовлетворяет (6.11), то математические модели генераторов, схемы которых изображены на рис. 6.2 и 6.3, неразличимы. Схема с детектором в экспериментальном отношении более удобна, так как позволяет варьировать инерционные свойства генератора регулировкой постоянной времени фильтра, что практически неосуществимо при использовании термистора.
Вид уравнений (6.10) не изменится, если в качестве селективного элемента использовать і?С-цепочку в виде моста Вина. Для обеспечения условий генерации в этом случае нужно применить два каскада усиления, как это показано на рис. 6.4. Для симметричного моста Вина управляющие параметры т и g в уравнениях (6.10) просто и с точки зрения эксперимента удобным образом выражаются через параметры схемы:
т = Kq-Z, g = RqCq/Tf, (6.12)
где Kq — коэффициент усиления двухкаскадного усилителя; RqCq и Tf — постоянные времени моста Вина и фильтра детектора. В физическом эксперименте параметры mug легко менять, варьируя коэффициент усиления и постоянную времени фильтра. Как показали исследования, динамика генератора, моделируемого уравнениями (6.10), принципиальным образом зависит от вида функции Ф(ж), т.е. от свойств инерционного преобразователя. Если Ф(ж) представляет собой симметричную функцию, то уравнения (6.10) имеют в качестве решения только предельный цикл. Однако если Ф(ж) не является симметричной (например, Ф(ж) = ехр(ж — 1)), то модель (6.10) демонстрирует как периодические, так и хаотические режимы колебаний. Более детальные исследования показали, что асимметрия Ф(ж) является необходимым условием для реализации в модели (6.10) особой траектории типа петли сепаратрисы седло-фокуса. Именно наличие особой траектории является фундаментальной причиной рождения режимов детерминированного хаоса.
В качестве примера вида функции Ф(ж), когда модель (6.10) приоб- 88
Лекция 6. Модифицированный генератор
ретает свойства генератора хаоса, мы выберем
Ф (X)=I(X)X2, I(x) = I J^ Хх>1> (6.13)
С физической точки зрения это соответствует использованию однопо-лупериодного детектора в схеме инерционного преобразователя.
Рис. 6.4. Схема ДС-генератора с инерционной нелинейностью.
Определив функцию Ф(х) в соответствии с (6.13), из (6.10) получаем уравнения модифицированного генератора с инерционной нелинейностью, представляющие собой трехмерную трехпараметрическую нелинейную диссипативную систему:
X = тх + у — XZ — dx3, у = —х. z = —gz + gl(x)x2. (6-14)
Исключением переменной у уравнения генератора с инерционной нелинейностью (6.14) приводятся к виду (6.2):
X — (га -Z- 3dx2)x jT [1 — gz + дФ(х)]х = 0, і = -дг + дФ(х). (6.15)
Автоматически регулируемый нелинейный осциллятор (6.15) характеризуется инерционной зависимостью диссипации и частоты от переменной X. В случае сильной инерционности системы (т/ Tq), когда д —» 0, система вырождается в двумерную:
х-а( 1 - Ъх2)х + X = 0, (6.16)
а = га — Z0: b = 3d/(m — zo), Z0 = z(0). и независимо от вида функции Ф(х) совпадает по форме записи с уравнениями генератора Ван дер Поля. Модифицированный генератор с инерционной нелинейностью
89
Другой асимптотический случай — безынерционный генератор, соответствующий стремлению параметра g в бесконечность. Из третьего уравнения системы при этом условии следует алгебраическая взаимосвязь переменных X И Zj сводящая исходную систему к виду
х-[т- Ф(х) - 3dx2]x + ж = 0. (6.17)
Полная аналогия с уравнением Ван дер Поля в этом предельном случае достигается при условии Ф(х) = х2. В реальном генераторе с инерционной нелинейностью область значений параметра инерционности g, в которой система ведет себя принципиально как трехмерная, ограничена некоторым интервалом g\ ^ д ^ $2- За его пределами приближенным описанием могут служить рассмотренные асимптотические уравнения на фазовой плоскости.
