Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора - Анищенко В.С.
Скачать (прямая ссылка):
Математическая модель модифицированного генератора с инерционной нелинейностью (6.14) есть нелинейная трехмерная диссипативная система с тремя независимыми параметрами, задающая поток в R3:
—оо < X < ос, —ос < у < ос, О ^ ^ < ос,
где переменная 2 определена на положительной полуоси, так как с физической точки зрения представляет собой продетектированное напряжение x(t) на выходе фильтра. Дивергенция векторного поля скоростей потока (6.14) зависит от параметров и фазовых координат:
div F = т - д - 3dx2 - z. (6.18)
Исследования в квазилинейном приближении ш < ^ < 1 свидетельствуют о том, что система глобально диссипативна и что для любых начальных данных из области определения фазовых переменных всегда справедливо div F < 0. В квазилинейном приближении z ~ т и независимо от координаты х дивергенция отрицательна. При т > д, где д — конечно (наиболее интересная область генерирования нелинейных колебаний), знак дивергенции зависит от координат. Условием диссипа-тивности является
т- д < Z+ Mx2. (6.19)
Для автоколебаний при d ф 0 это условие всегда выполняется. В этом смысле параметр d определяет безынерционную диссипативную нелинейность системы. Если же усилитель работает на линейном участке характеристики и нелинейное ограничение амплитуды за счет инерционной цепи обратной связи наступает раньше, чем значения перемен- 90
Лекция 6. Модифицированный генератор
ной X выходят в область нелинейности характеристики S(x), то выражение (6.19) принимает вид
т — g < Z(г). (6.20)
Последнее неравенство разделяет фазовое пространство системы на две области плоскостью z = Z0 = т — д. Для z > Z0 система диссипативна, для Z < Z0 фазовый объем в локальной окрестности любой траектории системы расширяется. Стационарные режимы автоколебаний реализуются в том случае, когда подкачка энергии и ее расход в среднем по времени компенсируются, что возможно при условии
m-g<z, (6.21)
где Z — среднее по времени значение переменной Z(г). Для достаточно больших га (га > 1) неравенство (6.21) может не выполняться и траектории системы будут уходить в бесконечность, если диссипативная нелинейность отсутствует (d = 0).
Система (6.10) характеризуется единственной особой точкой в начале координат. Если функция Ф(х) не содержит линейных по X членов, линеаризация системы в особой точке приводит к характеристическому полиному
(g + s)(s2 -ms + 1)=0, (6.22)
собственные значения которого есть
slj2 = га/2 ± (z/2)\/4 — га2, S3 = -д. (6.23)
В области параметров g > 0, — 2 < га < 0 действительные части всех собственных значений отрицательны и особая точка устойчива. С физической точки зрения параметр д всегда положителен. Параметр га может быть как меньше нуля (генератор недовозбужден), так и больше нуля (в режимах генерации). В области 0 < га < 2 особая точка есть седло-фокус с двумерным неустойчивым и одномерным устойчивым многообразиями (6.23). Линия га = 2 бифуркационная, и она отвечает смене седло-фокуса на седло-узел.
Как следует из (6.23), в системе (6.10) имеется уникальная возможность независимого управления свойствами устойчивого и неустойчивого многообразий. В режиме генерации (га > 0) состояние равновесия характеризуется двумерным неустойчивым многообразием и одномерным устойчивым, что определяется независимыми параметрами mug. Заключение
91
Как видно из (6.23), в бифуркационной точке т = 0 собственные значения si52 пересекают мнимую ось с ненулевой скоростью:
dResh2(m)/dm\m=o = 1/2.
При этом третье собственное значение <§з = —д отделено от мнимой оси. Реализуется классическая бифуркация Андронова-Хопфа: бифуркация рождения цикла из седло-фокуса.
Заключение
Модель генератора Анищенко—Астахова является простейшей динамической системой с 1.5 степенями свободы, прекрасно иллюстрирующий структуру и свойства так называемого спирального хаоса. Спиральный хаос возникает в дифференциальных системах, реализующих особое решение в виде петли сепаратрисы седло-фокуса или седло-узла. Для таких систем возможность хаотической динамики следует из известной теоремы Шильникова. ГИН реализует все известные механизмы возникновения детерминированного хаоса: каскад Фейгенбаума, перемежаемость различного типа, включая перемежаемость "хаос—хаос", порядок Шарковского. В неавтономном режиме ГИН демонстрирует все типичные эффекты, обусловленные переходом к хаосу через квазипериодические колебания (разрушение двумерного тора, удвоение торов и др.). Важной особенностью ГИН является то, что все параметры системы имеют ясный физический смысл и допускают измерения в реальном эксперименте. Исследованиям динамики ГИН как в численном, так и в натурном эксперименте посвящена практически полностью монография [3], которую можно рекомендовать в качестве учебника для изучения эффекта детерминированного хаоса. Лекция 7
Синхронизация колебаний
На примере генератора Ван дер Поля обсуждается эффект вынужденной синхронизации периодических колебаний. Рассматривается влияние флуктуаций и эффективная внешняя синхронизация. Общность и фундаментальность результатов иллюстрируется сложным примером синхронизации ритма сердца человека.
