Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора - Анищенко В.С.
Скачать (прямая ссылка):
Модифицированный генератор с инерционной нелинейностью
Вводится в рассмотрение математическая модель автономной автоколебательной системы с 1.5 степенями свободы; реализующая режимы детерминированного хаоса спирального типа. Обсуждается связь модели с классическими генераторами квазигармонических колебаний Теодорчика и Ван дер Поля.
In this lecture we introduce into consideration a mathematical model of an autonomous self-sustained system with 1.5 degrees of freedom. This system demonstrates regimes of deterministic chaos of the spiral type. We also discuss the relation between this model and the classical Theodorchik and Van der Pol generators of quasiharmonic oscillations. Введение
81
Введение
Изучение режимов динамического хаоса осуществляется по трем основным направлениям. Первое включает строгие математические исследования свойств гиперболических систем. Следует отметить исключительную важность фундаментальных аналитических результатов для правильного понимания и трактовки экспериментальных данных. Второе направление, типичное для естественнонаучных исследований, связано с анализом динамики конкретных систем, представляющих собой математические модели процессов, возникающих в реальных колебательных системах. Наибольший интерес для нелинейной динамики представляет третье направление. Оно включает разработку и исследование простейших базовых моделей, реализующих те или иные фундаментальные свойства хаотических систем. Поясним, о чем идет речь. Хорошо известно, например, что для изучения основных свойств автоколебаний достаточно рассмотреть уравнения генератора Ван дер Поля. Эта динамическая система исчерпывающим образом описывает механизмы рождения и свойства предельного цикла как математического образа периодических автоколебаний. При этом уравнения модели генератора являются наиболее простыми из динамических систем с предельным циклом в качестве решения. Размерность фазового пространства системы равна двум, то есть является минимальной для систем с устойчивыми, близкими к синусоидальным, колебаниями. Уравнения содержат квадратичную нелинейность и только один управляющий параметр, задающий режимы колебаний.
Названные направления составляют основную задачу теории колебаний как науки, изучающей фундаментальные явления на примерах анализа динамики базовых моделей соответствующих явлений. С этой точки зрения теория нелинейных колебаний — это наука, в которой вводятся в рассмотрение и анализируются наиболее простые из возможных математические модели фундаментальных явлений, происходящих в мире колебательных систем.
Открытие эффекта детерминированного хаоса привело к необходимости формирования нового раздела нелинейной теории колебаний, связанного с разработкой и анализом динамики базовых моделей хаоса. Необходимо иметь в распоряжении совокупность моделей детерминированного хаоса, которые наиболее просто иллюстрируют типичные бифуркационные механизмы переходов к хаосу, топологическую структуру основных типов странных аттракторов, бифуркации хаотических аттракторов, их фрактальность и т.д. В этой лекции мы введем в рассмот- 82
Лекция 6. Модифицированный генератор
рение одну из таких базовых моделей хаоса — генератор с инерционной нелинейностью (генератор Анищенко-Астахова).
Общие уравнения генераторов с 1.5 степенями свободы
Автономные системы с трехмерным фазовым пространством демонстрируют довольно ясную картину хаотической динамики маломерных систем. Введем наиболее общие уравнения таких систем, исходя из результатов, полученных применительно к генераторам с 1 степенью свободы, фазовое пространство которых — плоскость. В общем виде автоколебательные системы на плоскости описываются уравнением
X + ср(х, ?)x + Д) = 0, (6.1)
где X — динамическая переменная; ? = (/ii, /І2,..., /ifc) — совокупность управляющих параметров; (p(x,fi) и — нелинейные функции,
характеризующие действие сил, обеспечивающих возможность автоколебаний.
Уравнение (6.1) можно обобщить на определенный класс систем с 1.5 степенями свободы. Рассмотрим радиотехническое устройство, блок-схема которого изображена на рис. 6.1. Пунктирной линией выделена основная часть генератора, состоящая из усилителя 1, селективного элемента (например, колебательного контура или моста Вина) и цепи положительной обратной связи. При выполнении соответствующих амплитудных и фазовых условий в таком генераторе возникают автоколебания, описываемые уравнением (6.1).
Дополнительная цепь обратной связи осуществляет инерционное преобразование воздействующей переменной x(t) в отклик z(t), управляющий параметрами усилителя и селективного элемента основного блока генератора. С учетом дополнительной обратной связи уравнение
Рис. 6.1. Блок-схема инерционного самосогласованного воздействия на основные элементы классического генератора. Общие уравнения генераторов с 1.5 степенями свободы
83
системы, представленной на рис. 6.1, можно записать как
X + F1 (ж, Z5 ?)x + F2(x, z, ?) = О, і = F3(x,z,?).
(6.2)
Здесь Fi — в общем случае нелинейные функции. Фазовая переменная z(t) в (6.2) связана с переменной x(t) посредством дифференциального оператора первого порядка. Если взаимосвязь отклика z(t) на воздействие x(t) безынерционна, т.е. описывается алгебраическим полиномом типа
