Теория движения искусственных спутников земли - Аксенов Е.П.
Скачать (прямая ссылка):
а полуоси внешнего ограничивающего эллипсоида суть
|/а2 (1 + е)2+ с2 и а( 1 + е).
Эксцентриситеты внутреннего и внешнего эллипсоидов определяются
соответственно формулами с с
1~ У0,2(1- е)2 + с2' а2Г(1 + е)2 + с2'
Наибольшая разность между большой и малой полуосями (когда эллипсоид
касается поверхности Земли) равна ~3,5 км. При неограниченном возрастании
величины а (1 - е) эти эллипсоиды стремятся к сферам, центр которых лежит
южнее центра Земли примерно на 7,5 км.
Действительная и мнимая полуоси гиперболоида, ограничивающего движение в
верхнем полупространстве, соответственно равны
с у 1 -б2 и сб.
Для второго гиперболоида подобные величины будут равны с У1 - б*2 и сб*.
Поскольку б* есть функция а, е и б, то область пространства, где
происходит движение спутника, полностью определяется тремя элементами а,
е и б.
Орбита спутника касается одного эллипсоида, затем гиперболоида, второго
эллипсоида и второго гиперболоида и т. д. Как будет показано в § 4.7,
промежуточное движение спутника является условно периодическим с тремя
периодами.
В заключение этого параграфа найдем оценку для параметра е. Поскольку
малая полуось внутреннего ограничивающего эллипсоида не может быть меньше
экваториального радиуса Земли, то
О _ С ^ С ^ С
а (1- е2) (1 - е) < 7^'
а поэтому, если принять численные значения § 1.9, то е < 0,033.
§ 2.8]
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ
65
§ 2.8. Частные случаи
Эллипсоидальные орбиты. Пусть е = 0. Тогда = ?2И> следовательно, % = а.
Поэтому движение спутника будет происходить по поверхности эллипсоида,
вернее, по поверхности эллипсоидального пояса:
я2 + 2/2 I (z - сст)2
1,
а2 _|_ с2 I а2
-со - аб* ^ z ^ ссг + аб.
Эти орбиты показаны на рис. 14.
Эллиптические орбиты. Пусть е = 0 и 6 = 1.
Тогда, как это видно из (2.5.6), а3 = 0, и поэтому
w - const.
Следовательно, в этом случае мы будем иметь плоское движение,
происходящее в меридианной
плоскости. Предполагая временно, что ось Ох лежит в этой плоскости, мы
сможем записать уравнение орбиты в виде
Рис. 14. Движение на эллипсоиде.
(z - ест)2
1.
д2-|-?2П а2
Поэтому спутник будет двигаться по эллиптической орбите, эксцентриситет
которой определяется формулой
е =
Уа2 + с
Круговые орбиты. Пусть е = 0 и 6 = 6*. Тогда г) = 6 и
г - со - аб.
Приравнивая правую часть формулы (2.6.6) величине 6 и полагая е = 0,
получим
Поэтому
= -ео + Зе3сг. z = Зсое2,
(2.8.1)
5 Е. П. Аксенов
66
ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. II
а из формул (2.4.1) при условии т] = б и (2.8.1) находим х2 + уг = а2 +
с2 (1 - а2).
Следовательно, в этом случае спутник будет двигаться по круговой орбите,
плоскость которой перпендикулярна оси вращения Земли и отстоит от
плоскости экватора на 22,5 е2 км.
Полярные орбиты. Предположим, что 6 = 1, а е Ф 0. Тогда, как и в случае
эллиптических орбит,
w = const. Считая, как и раньше, у = 0, мы найдей, что в этом случае
орбита заключена внутри эллиптического кольца
*2______I (z-ca)2 ,
? а2(1-е)2+с2_Га2(1 -е)2 '
г2 , (z - са)2 .
а2(1 + е)2 + с2_|"а2 (l + e)2
и будет касаться попеременно то внутреннего, то внешнего ограничивающе го
эллипса (рис. 15).
Рис. 15. Полярные орбиты. Частным случаем по-
лярных ^орбит являются эллиптические орбиты (е = 0), которые были
рассмотрены ранее. Круговые и эллиптические орбиты можно также
рассматривать как частные случаи эллипсоидальных орбит.
§ 2.9. Замечания
В этой главе мы свели дифференциальные уравнения промежуточного движения
к квадратурам и рассмотрели в общих чертах качественную сторону задачи.
Для решения уравнений движения был использован метод Гамильтона - Якоби
[1]. Другой способ интегрирования, основанный на использовании
регуляризирующего времени, был предложен в работах Е. А. Гребеникова, В.
Г. Демина и автора [2], [3].
Предварительные качественные исследования, изложенные здесь, были
проведены в работе автора [4]. Под-
§2.91
ЗАМЕЧАНИЙ
6?
робный качественный анализ в симметричном случае (а = 0) для аг < 0 был
дан в работе Е. А. Гребеникова, В. Г. Демина и автора [5] и в общем
случае в работе В. М. Алексеева [6].
Качественные исследования неограниченных движений были выполнены в
симметричном случае для аг = 0 Е. А. Гребениковым, В. Г. Деминым и
автором [7] и для
> 0 В. М. Чепуровой [8]. В несимметричном случае подобные исследования
были проведены В. П. Гиричевым [9] и Б. Н. Носковым [10].
Полярные орбиты были подробно рассмотрены для
о = 0 в работе Е. А. Гребеникова, В. Г. Демина и автора [11] и для а
Ф 0 в работе В. С. Уральской [12].
Устойчивость движений по круговым, эллиптическим и эллипсоидальным
орбитам была исследована Е. А. Гребениковым, В. Г. Деминым и автором [13]
в симметричном случае и В. Г. Дегтяревым [14] в несимметричном случае.
Было показано, что все эти частные движения являются устойчивыми при
постоянно действующих возмущениях гравитационной природы по отношению к
величинам, характеризующим размеры и форму орбит.
Многие из указанных здесь исследований изложены в книге В. Г. Демина [15]
