Теория движения искусственных спутников земли - Аксенов Е.П.
Скачать (прямая ссылка):
с6, св. Но, как будет показано далее, постоянные с3 и с4 входят в
окончательные формулы только посредством комбинации с3 - с4. Поэтому
независимыми являются шесть постоянных.
§ 2.3. Первые интегралы
Рассмотрим подробнее первые интегралы промежуточного движения. Обозначим
через V орбитальную скорость спутника. Тогда на основании (2.2.8) и
(2.2.2) интеграл
§ 2.3]
ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
53
энергии запишется в виде
^2-2/f-^r) + 2"i- (2-3.1)
В сфероидальных координатах т], w интеграл площадей, как это следует из
(2.2.13), имеет вид
(Е2 + Са)( 1_г,2)^=аз. (2.3.2)
Если перейти к прямоугольным координатам, то он примет форму
ху - ух = а3. (2.3.3)
Существование этих двух интегралов обусловливается общими свойствами
силового поля, определяемого потенциалом W. Оно не зависит от
времени (интеграл энер-
гии) и симметрично относительно оси Oz (постоянство проекции вектора
кинетического момента на ось Oz). Рассмотрим теперь третий интеграл.
Пусть
Г2 = X2 + у2 + (2 - со)2,
г' = XX + уу + (2 - со) Z.
Тогда при помощи уравнений (2.2.1) имеем
Г2 = ?2+С2( 1-Т}2), r' = li - C2 Т)Т].
Кроме того, дифференцируя третье уравнение (2.2.1), находим
z = |r] + Tli (2.3.4)
Поэтому
r'2 + c2z2 = J(i2 + c2vf). (2.3.5)
Но согласно (2.2.13)
/2?2=Ф(|), Jhf = F(r&.
Следовательно, если воспользоваться формулами (2.2.11), мы вместо (2.3.5)
получим следующее равенство:
J {г'2 + с222) = 2а, (Е2(?2 + с2) +
+ с4Г]2 (1 - Т}2)] + 2fm [| (I2 4- с2) -
- с3аг](1 - if)] - а* (g2+Af). (2.3.6)
54
ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. II
Вычитая из него интеграл энергии (2.3.1), умноженный на 7г2, найдем
^2у2___г'2__ с222 __ _ 2/"t|ri (с2Т) -f- Cff|) а2
или
a l = rW2-r'2 - ch2 + Q, (2.3.7)
где
Q= 2МЕЛУт1+2с(т?) ¦ (2.3.8)
Х ?2+С2Т]2 v '
Интеграл (2.3.7) есть тот третий интеграл, наличие которого дает
возможность проинтегрировать уравнения движения до конца.
Если интегралы (2.3.1) и (2.3.2) имеют наглядный механический смысл, то
этого нельзя сказать об интеграле (2.3.7). Однако, поскольку
r2V2 - г'2 = (yz- zy)2 -f (zx - xzf -f- (xy - yx)2, (2.3.9)
где
Z = Z - CO,
то в предельном случае, когда с = 0 и а = 0, величина аа равна модулю
момента количества движения спутника (на единицу массы).
§ 2.4. Исследование первых интегралов
Рассмотрим уравнения, связывающие прямоугольные координаты х, у, z со
сфероидальными координатами
I, Л, w:
а: = ]/(^2 + с2) (1-rl2) cos w, "j
г/ = ]/г(^2 + с2) (1 -г]2) sin w, | (2.4.1)
z~ca -\-\x\. J
Очевидно, мы можем считать, что переменные г), w могут принимать значения
в следующей области:
0<g< оо, - 1 ^ Г| ^ -j- 1, - оо <С W <с -\- оо.
(2.4.2)
§ 2.4]
ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРВЫХ ИНТЕГРАЛОВ
55
Из (2.4.1) следует, что если согласно уравнениям движения координата |
будет изменяться в ограниченных пределах, то и прямоугольные координаты
будут также величинами ограниченными, а следовательно, и движение
спутника будет происходить в ограниченной части пространства. Но если |
будет величиной неограниченной, то и движение будет происходить в
неограниченном пространстве.
Выясним теперь возможный характер движений, до-пускамых уравнениями
промежуточного движения. С этой целью рассмотрим сначала интеграл
энергии:
y2-2%%7])+2ai- (2АЗ)
Так как левая часть этого равенства есть величина
неотрицательная, то
+"1>0- (2-4.4)
Разберем отдельно случаи а± < 0, аг = 0 и а2 > 0. Если а2 <С 0, то,
обозначая через а' положительную величину - fm!2а{, мы из условия (2.4.4)
найдем
(I - а')2 + (ст) + ста')2 ^ а'2 (1 + а2). (2.4.5)
Если аг = 0, то из (2.4.4) следует, что
| - сот] ^ 0. (2.4.6)
Наконец при аг > 0 будем иметь
(Б + а")2 + (ст] - оа")2 > а"2 (1 + а2), (2.4.7)
где через а" обозначена положительная величина fml2аг.
Условия (2.4.6) и (2.4.7) показывают, что при аг ^ 0 переменная | может
принимать любые значения из области (2.4.2). А тогда, как уже было
отмечено, движение спутника будет неограниченным в пространстве. При
< 0 из условия (2.4.5) вытекает, что | изменяется в следующих пределах:
а' (1 - У Г+а2) < ^ а' (1 + ]/ 1+F2),
и следовательно, в этом случае движение спутника будет происходить в
ограниченной части пространства.
56 ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. II
Итак, с точки зрения применения этих результатов к искусственным
спутникам нас может интересовать только случай, когда постоянная энергии
аг отрицательна.
Рассмотрим теперь интегралы (2.2.13), которые можно записать в виде
(§)г"ф(r), (c)'-*<ч>-
Поскольку левые части этих интегралов суть величины неотрицательные, то
области, в которых должны изменяться координаты | и г), определяются
условиями
Ф (|) > О, F ft) > 0. (2.4.8)
Исследуем сначала многочлен Ф (!):
Ф (!) = 2aJ' +(2alC2 - al) !2 +
+ 2fma* +c*l) +с2 (a*3-al).
Обозначим его корни через !lt !г> !з> и покажем, что все они не могут
быть комплексными. Действительно, когда ах < 0, коэффициент при !4
отрицателен, и поэтому в случае всех комплексных корней многочлен Ф (!)
принимал бы только отрицательные значения и, как следует из (2.4.8), мы
