Теория движения искусственных спутников земли - Аксенов Е.П.
Скачать (прямая ссылка):
о
где съ - произвольная постоянная.
Займемся сначала вычислением первого интеграла. Согласно (3.4.1)
dx = i- (1 - fcj sin2 0)"1/2 d0, или
dx = ( 1 + - sin2 0 + k\ sin4 0 + .
.. j d0.
78
ФОРМУЛЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ
[гл. ш
Поэтому при помощи (3.2.19) будем иметь
х Э
dx 1 Г 1 + A' sin 9 + В' sin2 0 + С' sin3 9 + D' sin4 9
1-г)2 O'! j A + B sin9 + Csin2 9 '
0 00
(3.5.2)
где
A = 1 - у2, В = 2 (d - sy), C = d2 - s2,
A'=2d, B' = jf- + d2, C' = k\d, 'J7 = -|a},
a 0O есть значение 0 при т = 0.
Выделяя в подынтегральном выражении (3.5.2) целую часть и отбрасывая при
этом члены порядка е6 и выше, получим
х 9
dx 1 Г (5 +Д sin 9) d9 .
1 -г)2 ctj J Л+.В sin 9 +С sin2 0
О 9о
Н 1 [(:r-TT-)+|lsl"?, + -|si"!e]'10- (3-5.4)
0о
где
5=1-4+4?-1
г' ff f (3.5.5)
r-a'~a?c~b^- I
Представим знаменатель дроби, стоящей в правой части (3.5.4), в виде
А + В sin 9 + С sin2 0 =
= =- [1 + Р2 + 2оф sin 0 - (1 - a2) sin20],
Y
где а, Р и у определяются из уравнений
1 + ра = Ау, 2ар = By, 1 - а2 = -Су. (3.5.6)
§ 3.5] ОПРЕДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТЫ w
(3.5.7)
Тогда, как легко проверить,
iL_JL
S ~ о ' и
¦ffsinO-j-S Sy a-f{isin0
.4-|-fism0-|-C sin20 a 1 + P2 + 2af3 sin 0 - (1 - a2)sin20'
Ho
Г ________(a-f ft sin 0) tffl______. . / a sin 0-J-|3 \
J 1 2aP sin0 - (1 - a2) sin2 0 ГС (r) \ cos0 )'
Поэтому из (3.5.4) следует
g3f ^IT = ^.lgArctg( +
J 1 - i] a 6\ cos 0 / 1
+ M + Pi cos 9 +P2 sin 20 + c', (3.5.8)
о
где
_ a3 I B1 A D' , 1 D' \
aiU C C 2 C)' > (3 5 9)
R "3 C' ft _ 1 "3 D' (
P*--TaTC'
причем с'ъ - постоянная, представляющая собой значение интеграла при 0 =
0О или т = 0.
Найдем выражения для постоянных, входящих в формулу (3.5.8). Для этого
подставим сначала в формулы (3.5.3) вместо s, у, d, и их значения из
(3.2.14)-(3.2.17). Выразив таким образом коэффициенты А, В, С, А', В', С'
и D' через а, е и б и используя формулы (3.5.5), мы получим выражения для
R и S. После этого при помощи (3.5.6) и (3.5.9) находим коэффициенты a,
|J, у и (30, (315 (32. Затем мы можем проверить справедливость равенства
(3.5.7)
и, кроме того, показать, что
?2-Z-S = ±l, (3.5.10)
где знак правой части совпадает со знаком постоянной а3. Если приписать
знак коэффициента первого члена правой
80 ФОРМУЛЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. III
(3.5.11)
части (3.5.8) величинам а и (i, то окончательно получим
а = ± УТ - б2 11 - еаб -е2а2 (1 - 6б2) +
+ е3аб (3-462 + е2)},
р = ± 2еаУ Т^б2 {6 + еа (1 - 2б2) -
-е26 (4 -562 + е262)},
7 = 1 + е2а2,
Ро = т У1 - б214"82 (*-е2)+т8202~~
-^-е3а6 (1 - е2) -
-Й (1 - *2) [(30 - 3582) + еЦ2 + Зб2)] } ,
Pj = ± е3аб (1 - е2) /Г^б2, р2 = ± е4б2 (1 - е2)2 /1362 f
где верхний знак соответствует прямым движениям, а нижний - обратным.
Перейдем теперь к вычислению второго интеграла
(3.5.1). Если разложить подынтегральную функцию в ряд по степеням с/? и
воспользоваться уравнением
dx = (1 + sin2 г]) + ... ) <2г|>,
которое является следствием (3.4.2), то с принятой точностью получим
dx
= (тП^т-^И+тИ (f)'
Фо 't'o
(3.5.12)
где г])0 есть значение г]) при т = 0.
§ 3.5]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТЫ го
81
При помощи (3.3.16) имеем
(f)2(i+4 sin2^)=
= (r^r j 2 [a0 -f at cos a|) -f a2 cos 2aj) + a3 cos 3aj) -f a4 cos
4aj)],
(3.5.13)
где
Oo = 1 + ~o---------2e? ¦
*1 |
4 "i" 16
¦ le 4
a1==2e---y e2q - 2q ,
0, = ^--2eg-
1 Ale
"3 =-------o' e ?------T- > "4= -
frjse2 16 '
(3.5.14)
причем
p = a( 1 - ее), q
1 - ее
Аналогичным образом находим У = е4 (60 -г bi cos 1|з -f- b2 cos 2i|5-f-
-f 63cos3'i|) + &4cos4'ij)), (3.5.15)
где
60=l + 3e2 + -f-e\ bi = e(4 + 3e2), b3 = e3, &2 = -f(6 + e2)* b* = T-
(3.5.16)
Далее легко получаем
_Ц = ±|/ГГб? { 1 + -у- [(5 - 762)-f-
+ е2 (1 - 62)] - еаб -f- .. . j , (4)2 = е2[1+2е2е2(1-2б2) + ...],
_с \ 2 Р
g- = e2e (1 - 2б2)+ .. 6 Е. П. Аксенов
(3.5.17)
82
ФОРМУЛЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ [гл. iii
Подставляя формулы (3.5.13) и (3.5.15) в правую часть
(3.5.12) и интегрируя, найдем
- азС2 j р^р72 = "о i|) + a;sin \)з +
о
+ a\ sin 2oj) + a' sin Згр -f a' sin 4aj) 4- c", (3.5.18)
где с" - значение интеграла при aj; = ф0.
Коэффициенты a'h связаны простыми зависимостями с коэффициентами ah, bk и
величиной a3/a2. Используя формулы (3.5.17), (3.5.16) и (3.5.14), мы
можем получить для следующие выражения:
а'0 = + е2 Yi - 82 11 + -^- - -j-eafi (2 + е2) + 1
[(24 - 56б2) - е2 (4 + 64S2) -
- е4 (2 + Зб2)] } , а| = т 2е2е/Т^б2 { 1 - еаб +-f- [(4 - 28б2) -
- е2 (6 + 7б2)] | ,
а' = + ^г- К1 - б2 11 - еаб -
--f-[ll + е2(1 +б2)] } ,
а;=±е-У(2-б2)/1^Т2,
±LL(2 + 62)/1-62,
(3.5.19)
где верхний знак соответствует прямым движениям, а нижний - обратным.
Подставим, наконец, формулы (3.5.8) и (3.5.18) в (3.5.1). Тогда
окончательно получим
¦А"""Р?т*)+0-
w --
(3.5.20)
где
Й = а'г)} + ро0 + с5 + а[ sin ^ -j- a' sin 2i|) -|-
-(- а'3 sin Зг|) 4- "I sin 4г(з -j-|3i cos 6 + j32 sin 20, (3.5.21)
§ З.б] СВЯЗЬ МЕЖДУ ВРЕМЕНЕМ t И ПЕРЕМЕННЫМИ е И м> 83
причем
С6 = СЬ "I- СЬ "1" С5'
а коэффициенты a'h и f>k даются формулами (3.5.19) и (3.5.11). Очевидно,
