Теория движения искусственных спутников земли - Аксенов Е.П.
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда следует, что знак постоянной a3 совпадает со знаком а, т. е. при
0° ^ i <С 90° мы будем иметь сс3 > 0, а при 90° < i ^ 180° - as < 0.
Таким образом, область 0° ^ i <с 90° будет соответствовать прямым
движениям, а область 90° -< i •< 180° движениям обратным.
Поскольку знак выражения для w совпадает со знаком а3, то введение i
позволяет получить для w однозначную формулу. Однако этим не
исчерпывается удобство использования i вместо б. Оказывается, что если
выразить б через s = sin г, то выражения для коэффициентов, входящих в
формулы для координат ?, т), w и t существенным образом упрощаются. Так,
например, в резуль-
§ 3.7]
ПОСТОЯННАЯ t
89
тате указанной замены мы будем иметь
Cравнение этих формул с формулами §§ 3.2, 3.3, 3.4 показывает, что в
выражениях для приведенных коэффициентов исчезли члены с е3а, либо члены
с е202, либо вовсе члены, пропорциональные о. В дальнейшем мы увидим, что
аналогичные упрощения произойдут и в выражениях для остальных постоянных.
90
ФОРМУЛЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. III
§ 3.8. Определение if
для заданного момента времени t
Введем переменную Е согласно уравнению
(3.8.1)
Тогда
2 Arctg
1 - е ____е* V1 - e2sin\j3
1 + е 2 1 _|_е cos
E-e*sinE. (3.8.2)
Если теперь в уравнении (3.6.12) при помощи (3.4.7) исключить 0, а затем,
используя (3.7.2), выразить коэффициенты через а, е и s, то, принимая во
внимание (3.8.2), получим
Е - е* sin Е - А/ф =
= М - Ai sin if - %2 sin 2if - cos (if + со) -
- sin 2 (if + со) - K's cos 3 (if + со) -
- sin 4 (\f + со) - k'22 sin 2if cos 2 (if -|-co), (3.8.3)
-|-e4 (1 - ez) (1-s2) (l + lls3-e2 + 5eV)} , (3.8.7) e* - e {1 - e2 (1 -
e2) (1 - s2) e4s2 (1 - e2) (3 -f- e3)}, (3.8.8)
где
M - щ (t - to) + M0,
(0 = Vif + co0,
M0 = M'0 - y'0co0.
(3.8.4)
(3.8.5)
(3.8.6)
Здесь v дается формулой (3.7.15), a
- - A- e' (1 - (8 - 32s2 + 25s4),
(3.8.9)
ФОРМУЛА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДОЛГОТЫ w
01
,2\3/2
К = 32 e4s4e2 (1 - е2)
е3а
,2\3/2
^ = ^s(4-5s2)(l-e2)3/2,
,2^3/2
X
X |l-^-[(12 - 13s2) - е2 (4 -5s2)] },
} (3.8.10)
я;:
е3а
s3 (1 - е2)
,2\3/2
я: =
I-
(1 - е2)
,2\ 5/2
16
(1 - е2)
,2\3/2
Полученные в' этом параграфе уравнения позволяют найти "ф для любого
заданного момента времени t. Порядок решения этих уравнений может быть
следующим. Сначала для заданного момента t по формуле (3.8.4) находим М.
Для вычисления "ф по известному М можно воспользоваться методом
последовательных приближений. Принимая в первом приближении Е = М, мы по
формуле (3.8.1) вычисляем "ф, а затем из (3.8.5) находим со, после чего
уравнение (3.8.3) дает нам Е. Затем в указанном порядке снова определяем
i|), со, Е и т. д.
Можно показать, что процесс последовательных приближений сходится при
любых е, меньших единицы.
§ 3.9. Формула для определения долготы w
В этом параграфе мы выведем окончательную формулу для вычисления долготы
w. С этой целью подставим во второе слагаемое правой части (3.5.20)
вместо 0 его значение из формулы (3.4.7) и в полученном выражении
исключим б при помощи (3.7.2). Тогда
^Arctg(if|±l)+a, (3.8.1)
92 ФОРМУЛЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ [гл. ш
где Q дается формулой
Я = + Я0 + Ц! sin + jx2 sin + jx3 sin 3i|) +
+ щ sin 4i|5 + fij cos (i|5 + a>) + jx' sin 2 (i|5 + ю). (3.9.2)
Здесь
-|_a je2(l + a2)+-^-(6-17s2-24e2s2)}, (3.9.3)
ч
Hi = - 2e2ae { 1 + [(4 - 28s2) - e2 (6 + 7s2)] } ,
_ ^ [(22 s2) + ,2 (2 + s2)] } ,
4 L 4 J (3.9.4)
64ae3 /0 s4ae4 /0 . ?л
^3 = -|- (2 - s2), JX4 = -6T"(2 + S)>
}x; = e3oas (1 - e2), jx; = -5^ (1 - e2)2,
причем
^0 - c5 + Po(r)0)
а постоянные a и P определяются формулами (3.7.5) и (3.7.6).
§ 3.10. Формулы для прямоугольных координат
Прямоугольные координаты х, у, z согласно § 2.2 определяются формулами
X = V~{%2jr С2) (1 - tl2) COS W, |
У~У~(?2 + с2) (1 - T]2) sin w, | (3.10.1)
z = ca + |t|. J
Зная ?•, 1], w, мы можем по этим формулам вычислить прямоугольные
координаты спутника. Однако можно вывести другие формулы для х, у, z,
которые во многих
случаях могут оказаться более удобными, чем формулы
(3.10.1).
Представим (3.9.1) в виде
w = w' + й,
g 3.10] ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ 93
где
Тогда
cosu> =
sin w
a sin 0 + P cos 0
cos 0
)•
]/~l + (32+2a(3 sin0-(1 - a2) sin20 ' asin0 + (3 _____
1Гl+(32+2a|3sin 0-(1 - a2) sin20 Далее из (3.2.19) получаем
2 1 + ft2+2aft sin 0 - (1 - a2) sin2 0
1- T)2
Поэтому
V1 - Л2 cos w' -
7 (1 + rf sin0)2 У У~1 cos 0
YI- rf sin w' Поскольку
l + dsin0 '
Vy-1 (" sin 0-f(3) l + dsin0
cos w = cos w' cos Q - sin sin iv = cos w' sin Q + sin
in w' sin Q, 1 in w' cos Q, J
(3.10.2)
(3.10.3)
то при помощи (3.10.2), (3.10.3) и третьей формулы (3.5.11) мы вместо
уравнений (3.10.1) будем иметь
x = p(cos0cosQ - asinGsinQ - (isinQ), ^
у = р (cos 0sinЙ + asin0cosЙ +Pcos Й), I (3.10.4)
z = ca-|- p' (s sin 0 + y), J
где
p_ V(*~е2(т2) (l2+c2) "_ S (3 10 5)
^ l + dsin0 ' P l+dsin0 ' '
Здесь a и p даются формулами (3.7.5) и (3.7.6), а у и d - равенствами
(3.7.8) и (3.7.9).
В формулы (3.10.4) и (3.10.5) входят три переменные:
