Теория движения искусственных спутников земли - Аксенов Е.П.
Скачать (прямая ссылка):
постоянную с5 мы можем рассматривать как произвольную постоянную, вместо
постоянной съ.
§ 3.6. Связь между временем t и переменными 0 и г|з
На основании (2.2.16) уравнение, связывающее время t с промежуточной
переменной т, можно записать в виде
т т
t - ?0 = a2j +с2 j T]2dT-)-ce, (3.6.1)
о о
где t0 - начальный момент времени, а с6 - постоянная интегрирования.
Переходя в первом и втором слагаемых (3.6.1) от переменной интегрирования
т соответственно к г|з и 0 согласно уравнениям (3.4.1) и (3.4.2), получим
t -10 = a2Ii + АГ2 + с6, (3.6.2)
где
^ 2 /l==j (т)2 (1 + T'sin2^ + ?/c22sin4^+¦ • •) (3-6-3)
йо
е
/.= j ^2(i+4'sin20+---)de- (3-6-4)
Go
Здесь, как и раньше, ij)0 и 0О- значения т}з и 0 при т = 0. Займемся
сначала вычислением 1г. Пусть
X - 1 + е cos г|з.
Тогда
sin2 г|з = -J- [(1 - е2) - 2Х -)- X2]
"2
и согласно (3.3.16)
84
ФОРМУЛЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. III
Поэтому
(IT (i+xsin2,|5+T**sia4i|5)=
= А^Х~2 + А^Х-1 + А0 + AiX + А2Х\
где
А_2 =, (1 - ё2)2 | (1 - й2)2 - -у- (1 - ё2) (1 - 2п) +
+Т*<1'
A_i = (1 -ё2) { 2п (1 - п) + к2 (1 -ё2) (1 - 3и) -
--| *4(1_-Z) } ,
А0 = п2 - (1 -ё2)2 (1-2п) +
+ 2?2га(1-ё2)+|-(3-ё2)(1-ё2)2^,
Л! = -fc2rc (1 -ё2) -1 А4 (1 - ё2)2,
Л2 = -|-й4(1 -ё2).
Здесь для краткости положено
k2 = S, п=^е-^-.
е2 е
Далее легко находим
1 1^Arct" УЩ* 1 -
е sin ф 1-72 l-f-tfCOsr|> '
1 х~' ^ " Tizliwr Are'S l/-f •
j X dip = г|з -f e sin ip,
j X2 dip = (1 ¦+ 4^- j \p -f- 2e sin яр -f sin 2яр.
(3.6.5)
e2)2},
(3.6.6)
(3.6.7)
(3.6.8)
СВЯЗЬ МЕЖДУ ВРЕМЕНЕМ t И ПЕРЕМЕННЫМИ 0 И Ч>
85
Подставим формулу (3.6.5) в (3.6.3). Тогда, учитывая
(3.6.8), получим
Л = Г-^
LM-e2
(1_е2)3/2 (1 -е2)
у4_2е sin "ф 1-е2 l + ecosij)
¦]4rCt
+ [Л + -^1 + ( 1--------2 j 'Ф +
-f- e (At -f- 2A2) sin ip е2^г sin 2ip + c'0, (3.6.9)
где через с'в обозначено значение интеграла при ijj = ijjn или т - 0.
Перейдем к вычислению 12. При помощи (3.2.19) имеем tj2 ^ 1 +-y-sin20j =
= В0 + By sin 0 + 52 cos 20 4- В3 sin 30 + В4 cos 40,
где
B0=js2 + -^MI В i = 2sy-t-s2d,
В*
-s2d,
B3 = j s2d, Bk --
s2kf
16
(3.6.10)
Поэтому
/2 = B0Q + jBt sin 20 + sin 40 -
- ^cosO --|--(r)зС08 30 + Cg, (3.6.11)
где с" - значение интеграла при 0 = 0О.
Постоянные Ah и Вк, входящие в формулы (3.6.9) и (3.6.11), можно легко
выразить через элементы а, е и б. Если это сделать, а ватем подставить
(3.6.9) и (3.6.11)
86
ФОРМУЛЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ [гл. III
в уравнение (3.6.2), то окончательно будем иметь Щ (t -10) + М'0 = 2
Arctg У j^=- tg у -
где Щ =
1 -J- e cos -ф
+ Vo1!5 + Vo0 + Ъ sin 'I5 + Va sin 2гр + y'2 sin 20 +
+ V4sin40 +Vl cos 0 + Ъ cos 30, (3.6.12)
Y ^{l-|e2(l-e2)(l-82H-
+ Зе3аб (1 - б2) (1 - e2) + -|- e4 (1 - e2) X
x (1 - S2) (1 +1182- e2 + 5e282) } , (3.6.13)
e* = e{\ - e2 (1 - e2) (1 -82) + 2е3аб (1 - б2) X
X (1 - e2) + е4б2(1 - б2) (1 -e2) (3 4- e2)}, (3.6.14)
Vo= _e2(l-e2)3/2 |1б2 + еаб(1-б2)-
-J [(24 -96б2 + 78б4) -e2 (8б2- 1164)]} , y'0 - e2 (1 -e2)3/2 {-i 82 +
606(1 -82)-
8262 [(24 - 2782) - e2 (8 -1162)] },
16
1
Yi = - e462e (4 - 5б2) (1 - e2)
3 _isi p2\3/2
3/2
7a=32-e464e2(l- e2)
Vi = - в2 (1 - e2)3'2 {I б2 +1 еаб (1 - б2) -
8262
[(6 - 7б2) - е2 (2 - Зб2)] |,
' е4б4 /а о\ 5/2
v4=^r(1-e2) ,
v; = i^-6(4-562)(l-e2)3/2,
7з -
е^ст
б3 (1-е2)
,2чЗ/2
(3.6.15)
§ 3.7]
ПОСТОЯННАЯ г
87
причем
Щ = п0 (с; + с; - св).
Очевидно, М'0 можно рассматривать как произвольную постоянную, вместо с6.
§ 3.7. Постоянная i
В этом параграфе мы введем новый элемент г, вместо элемента б. Как мы
сейчас увидим, этот новый элемент во многих отношениях более удобен по
сравнению с б. Пусть
s = sin г, (3.7.1)
где s дается формулой (3.2.14).
Разрешая методом последовательных приближений уравнение (3.2.14)
относительно б, получим
б = S - 80 (1 - S2) {1 - 80S - е2 (3 - 4s2 + е2)}.
(3.7.2)
Далее легко выводим следующее равенство:
11 - 606 - у е202 (1 - 682) +
+ е3аб (3 - 4б2 + е2) j - У-1 -s2, сравнивая которое с первой формулой
(3.5.11), видим, что а^±УГ^, (3.7.3)
Установим область значений элемента i, которые он может принимать в
реальном движении. Из условия (2.5.7) следует, что
max 6 = 1.
Поскольку, далее, б - наибольший из двух корней F (т])" заключенных в
промежутке [-1, +1], то наименьшее возможное значение б можно найти из
условия равенству этих корней, т. е. из уравнения
6* = 6,
где 6* определяется формулой (2.6.6),
88
ФОРМУЛЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ [гл. XIX
Разрешая это уравнение, находим
min б = -ест + е3ст (3 + е2).
Таким образом,
- ест + е3ст (3 + е2) ^ б ^ 1.
При помощи этого условия из формулы (3.2.14) заключаем, что
О < s < 1.
Если теперь принять, что
О < i л, (3.7.4)
то будем иметь
s ^ 0 и а - cos i. (3.7.5)
Далее, из второй формулы (3.5.11), если в ней выразить б через s согласно
(3.7.2), имеем
Р = 2ecras {1 - е2 (4 - 5s2 + eV)}, (3.7.6)
а если выразить б через s в формуле (2.5.6), то получим "з = " V f та {1
- е2) |l + [(2 - 3s2) + е2 (2 - 52)] +
_f_ 1^1 (1 _ 7s2) _ [(12s2 - 11s4) +
+ е2(16 + 16s2-34s4) + е4 (4s2 - 3s4)] j . (3.7.7)
