Теория движения искусственных спутников земли - Аксенов Е.П.
Скачать (прямая ссылка):
формулы для несимметричного случая были найдены также К. Маршалом [15] и
Е. И. Тимошковой [16]. Случаи орбит с малыми эксцентриситетами и
наклонами были рассмотрены в статьях М. А. Вашковьяка [17] ja С. Н.
Вашковьяк [18], а полярные орбиты были подробно исследованы В. С.
Уральской [19]. Сравнение вычислений по формулам промежуточного движения
с результатами численного интегрирования было проведено в работах JI. М.
Доможи-ловой и автора [20], [21].
ГЛАВА IV
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДЛЯ ЭЙЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ
ОРБИТЫ
§ 4.1. Введение
В предыдущих главах было подробно изучено промежуточное движение
искусственного спутника. Была рассмотрена качественная картина движения,
введены элементы промежуточной орбиты и получены все необходимые формулы,
позволяющие определять положение спутника и его скорость для
произвольного момента времени. В настоящей главе будут выведены
дифференциальные уравнения, которые дадут возможность находить
возмущения, не принятые во внимание при построении промежуточной орбиты.
Подобно тому как это имеет место в классической теории возмущений, мы при
решении уравнений возмущенного движения за искомые функции примем
элементы промежуточного движения. Другими словами, мы будем считать, что
в возмущенном движении координаты и составляющие скорости спутника
определяются формулами промежуточного движения, в которых элементы орбиты
не являются постоянными, а суть некоторые функции времени.
Сначала мы рассмотрим только такие возмущающие силы, которые имеют
силовую функцию, т. е. будем предполагать, что дифференциальные уравнения
движения спутника могут быть записаны в следующем виде:
d2x dW dR
dt2 dx dx
d2y dW _ dR
dt2 dy ~ dy
d2z dW dR
dfi dz dz
где Сдается формулой (1.9.1) или (1.9.8), а возмущающая функция R зависит
от координат х, у, z и времени t.
4.i] Введение ill
Принимая за обобщенные координаты величины т|, w н вводя формулами
(2.2.4) обобщенные импульсы |',tj' ,w', iVibi вместо системы (4.1.1)
будем иметь
dl die drj dK' dw dK'
dt dV ' dt dr\' ' dt дш' '
dV . dK' dri' dK' dw' dK'
dt 91 ' dt dx\ ' dt дш
где
(4.1.2)
К' = К - R, (4.1.3)
К = Т - W, (4.1.4)
причем Т есть кинетическая энергия, отнесенная к еди-
нице массы.
При R - 0 система (4.1.2) описывает промежуточное движение спутника,
определяемое каноническими элементами ах, а2, а3 и рх, р2, р3, которые мы
ввели в § 2.2. В случае промежуточного движения эти элементы являются
постоянными. В возмущенном движении они будут функциями времени,
удовлетворяющими следующим уравнениям *):
ТГ=-!г <*=1. 2. 3). (4.1.5)
Канонические элементы ак и pft аналогичны каноническим элементам Якоби в
кеплеровом движении. Известно, что элементы Якоби не являются удобными
переменными при решении уравнений возмущенного движения. Их недостаток
заключается в том, что в правых частях дифференциальных уравнений
появляются смешанные члены, т. е. члены вида t sin yt, где у - постоянная
**). По аналогичным причинам элементы ah и pft необходимо заменить
другими, более удобными каноническими элементами. В теории кеплерова
движения такими элементами служат элементы Делоне и элементы Пуанкаре.
Здесь мы введем аналогичные системы элементов. Заметим, однако, что в
данном случае задача существенно осложняется тем обстоятельством, что
рассматриваемая промежуточная орбита характеризуется тремя частотами,
*) О методе вариации произвольных постоянных в случае канонических
уравнений см., например, книгу М. Ф. Субботина [1].
**) Подробнее об этом см., также [1].
112 УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЙЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. IV
в то время как кеплеровская орбита зависит только от одной частоты.
Задача, тем не менее, и здесь успешно разрешается, если воспользоваться
общей теорией условнопериодических движений *).
§ 4.2. Канонические элементы А и и В к
Введем элементы А^, А2, А3 формулами
Ё2 . г-----------
У Od$ |2 + с2
Т)2
± с _к
Я J 1
У F dx\
: а¦
'3"
(4.2.1)
11 41]
где Ф и F даются равенствами (2.2.11), и ?2 корни многочлена Ф, между
которыми изменяется координата a Tii и т]2 - корни многочлена F, лежащие
в промежутке
[-1,4-11-
Вторую группу элементов Ви В2, В3 введем уравнениями
^+Pl = (r)11^1+(r)21^2 + (r)31^3> 1
Р2 - Щ^В2 (о32В3, / (4.2.2)
Рз = (r)23-(r)2 а33^31 '
где
(О,,-
dAt
да j
(*, / = 1, 2, 3).
(4.2.3)
Докажем, что такое преобразование ak и pft в Ah и В^ - каноническое.
Пусть
А =
Тогда из (4.2.2) находим 1 г ад
СОц 0)21 0)31
0)12 0)22 (1>32
0)13 0)23 °)33
(4.2.4)
В!
*=-н
Д L дсои
ад
(t Pi) ~J~~~ Р2"
(* + РО
ао)21
Бз==хЫ^Г (* + Pi) +
Далее имеем
dAk = dfh ¦ da{ -
я dat 1
do)12
ад
aO)22
ад
ao)32
ад
dAh
да.
ao)33 1 a^h
aa3
Рз}
(4.2.5)
da3
*) Об условно-периодических решениях см. книгу К. Шарлье [2].
§ 4.3]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ А,
113
или, если принять во внимание (4.2.3),
dAt = сои doii + (ог2 da2 + согз da3.
Поэтому
3 3
i VI / дЛ , дА , дА
2 Bt dAi - д 2 дшц + (r)2-' 9o)2i +"3-' 9co31 )daJ +
i=l j-i
