Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Аксенов Е.П. -> "Теория движения искусственных спутников земли" -> 19

Теория движения искусственных спутников земли - Аксенов Е.П.

Аксенов Е.П. Теория движения искусственных спутников земли — М.: Наука, 1977. — 360 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyadvijeniyaiskustvennihsputnikovzemli1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 93 >> Следующая

*).
*) См. также книгу В. В. Белецкого [16].
5*
ГЛАВА 111
ФОРМУЛЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ
§ 3.1. Эллиптические функции Якоби
В предыдущей главе были найдены первые интегралы уравнений промежуточного
движения, позволяющие записать общий интеграл задачи в квадратурах.
Поскольку функции F (г)) и Ф (?), входящие в формулы (2.2.14), суть
многочлены четвертой степени, то полученные квадратуры являются
эллиптическими, вследствие чего общее решение задачи должно выражаться
через эллиптические интегралы и эллиптические функции. Поэтому перед тем,
как приступить к обращению квадратур, мы изложим основные сведения об
эллиптических интегралах и функциях *).
Пусть имеется интеграл вида
где R (z) есть многочлен четвертой степени. Всегда существует такая
дробно-линейная подстановка, которая приводит его к виду
Интеграл (3.1.1) называется эллиптическим интегралом первого рода в
нормальной форме Лежандра. Число к (О <С к <; 1) называется модулем этого
интеграла, а к' = /Т^Т2 его дополнительным модулем.
Подстановкой t = sin ср эллиптический интеграл приводится к нормальной
тригонометрической форме
ф
(3.1.1)
(3.1.2)
*) Подробнее об эллиптических интегралах и функциях см. книги Ю. С.
Сикорского [1] и Н. И. Ахиезера [2].
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
69
Эллиптический интеграл, взятый в пределах от 0 до я/2, называется полным
эллиптическим интегралом первого рода и обозначается К (к):
С одной стороны, оно определяет и как однозначную функцию верхнего
предела ср
С другой стороны, мы можем рассматривать верхний предел ф как функцию
самого интеграла и. Такая функция обозначается
и называется амплитудой. Таким образом, am (и, к) есть результат
обращения эллиптического интеграла первого рода в нормальной
тригонометрической форме Лежандра.
Эллиптические функции Якоби вводятся следующими формулами:
и называются соответственно эллиптическим синусом, эллиптическим
косинусом и дельтой амплитуды.
Часто модуль к опускают и пишут просто
но всегда нужно помнить, что эти функции зависят от параметра к.
Я/2
-0 " - ----- т
Рассмотрим теперь равенство
ф
(3.1.3)
и = F (<р, к).
Ф = am (и, к)
sn (и, к) = sin [am (и, &)], сп (и, к) = cos [am (и, &)],
dn (и, к) = Y 1 - &2sn2 (и, к),
am и, sn и, cn u, dn и,
70
ФОРМУЛЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. III
Отметим основные свойства эллиптичесхих функций, считая и вещественным.
1. Функции sn и и сп и периодические с периодом 4К, a dn и
периодическая с периодом 2К.
2. Функции sn и, сп и и dn и принимают значения в областях
- l^snu^l, -l^cnu^l, Y1 - &2=^dnu^l.
Значения функций при и - 0, К, 2К, 3К, 4К приведены в табл. 2.
Таблица 2
Значения эллиптических функций
0 К 2 К ЗА' 4 К
sn и 0 1 0 - 1 0
СП и 1 0 -1 0 1
dn и 1 ]/1 - 1 У 1-А2 1
Величина К, таким образом, для функций sn и и сп и играет роль,
аналогичную роли я/2 для sin и и cos и.
3. Функция sn и - нечетная, а сп и и dn и - четные функции и, т. е.
sn (-и) = -sn и, сп (-и) = сп и, dn (-u) = dn и.
4. Функции sn и, сп и и dn и связаны между собой формулами
sn2 и + сп2 и = 1, dn2 и + fc2sn2 и - 1, dn2 и - &2сп2 и + к2 = 1.
5. Функции sn и, сп и, dn и вырождаются при к = 0 в тригонометрические
функции, т. е.
sn и = sin и, сп и = cos и dn и = 1 (А: = 0),
а при к - 1 в гиперболические функции, т. е.
1 1
snw = thw, спи=-г- dnu=-r- (к - 1).
сп и СП ц
§ 3.2]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТЫ Т1
71
6. Функции sn и и сп и разлагаются в тригонометрические ряды:
1
оо 2"
sn и = ж 2 i-qin4 sin (2к- *)й , (3.1.4)
п=1
1
п-т
СП u - , ^ х , , , ,
+ 9
п-1
где
д = ехр
яК (к') \ - пи л с\
)- и=ш• <3-4-6>
К (к)
Для am и имеет место такое разложение:
ОО
ати = й+ ^ -j- lJ^5rsin2Htt. (3.1.7)
71=1
Приведем еще разложение для К (к):
(3.1.8)
Все эти ряды сходятся при любых и и к <L 1.
§ 3.2. Определение координаты т]
На основании (2.2.14) и (2.6.11) мы можем записать квадратуру для
определения т] в виде
б
t 1~7^~Т7~^Гг >2 , -=,]/^2^-2(т + Сз)1 (з.2.1)
eJ*V (б -Г)) (Г) -б*) [?2 -(Г) -р)2]
где б*, р' и q' даются формулами (2.6.6), (2.6.8) и (2.6.9), ах
определяется равенством (2.5.4), а с3 - постоянная интегрирования.
Чтобы найти отсюда т], воспользуемся подстановкой
_ 6+6* S -б* (т' - т') - (т'-\-т"){,' /о, о
72 ФОРМУЛЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. III
где
т' = 1/уа-(6-р')а, m" = /g'*-(6*-p')2. (3.2.3)
Тогда уравнение (3.2.1) примет вид
Е' , _____________
f ^ ...- У - 2a1c2m'm" (т + с3), (3.2.4)
^V(i-s'2) (1+й*-л2Е'а)
где
ftn f(6 -б*)2 + (та' -тге")2 ^ (3.2.5)
Ат'т." ' V • • /
Если положить
?' = sin 0, (3.2.6)
то вместо (3.2.4) будем иметь
<3-2-7)
где
к\ = к2 (i + k2)~l, Oi - V -2alc2m'm" (1 + к2), (3.2.8)
а Кг - полный эллиптический интеграл первого рода с модулем кг.
Обращая эллиптическую квадратуру (3.2.7), получим
0 = аш (*!, кг), (3.2.9)
где
h = ol(x + 73), 73=C3-J-K1. (3.2.10)
Поэтому
V = sn (h, к,). (3.2.11)
Полагая
т'6*- т"Ь , т' - т" го'6* -j- тп"Ь /0 0 А
S=----п-d=- -7=-------------------------------, , ¦, (3.2.12)
т -f-тге 771+(tm) m +т
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 93 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed