Теория движения искусственных спутников земли - Аксенов Е.П.
Скачать (прямая ссылка):
При этом области (2.5.7) будут соответствовать все возможные ограниченные
движения, допускаемые уравнениями промежуточного движения.
§ 2.6. Корни многочленов Ф (|) и
Выразим теперь корни Ф (|) и F (т]) через новые по-стоянные а, е и б.
Начнем с многочлена Ф (?). Его два корня и даются формулами (2.5.1).
Найдем остальные корни. С этой целью положим
= р + iq, It = р - iq
и воспользуемся теоремой Виета, которая дает
2<" + Р>=-
(1 - ег) № + f) - '8(^~°!).
Подставляя сюда вместо аг, а2, а3 их значения из формул (2.5.4)-(2.5.6),
получим
р = а (1 - ez) е2(1 - б2) {1 - 2естб + е2 (1 - 4б2- е2)}, (2.6.1)
<72 = а2 ( 1 - е2)2 е2 {б2 -(- 2естб (1 - б2) -
- Е2 (1 - 6б2 + 5б4)}. (2.6.2)
Равенства (2.6.1)"и (2.6.2) показывают, что в зависимости от б, о и е
величина q может быть как действительной, так и мнимой. Она будет равной
нулю при условии
б2 + 2естб'(1 - б2) - е2 (1 - 6б2 + 5б4) + . . . = 0,
из которого находим
б = е (1 - о - Зе2 + • • •)• (2-6.3)
Следовательно, если
| б | ^ е (1 - ст - Зе2 + • • •),
то q будет действительной величиной, а корни ?3 и |4 - комплексными, а
если
| б | <Ге (1 - а - Зеа + • • •),
КОРНИ МНОГОЧЛЕНОВ Ф (|) И F (п)
61
то q будет мнимой, а корни !3 и !4 - действительными. Условие (2.6.3)
соответствует случаю !3 = !4. Таким образом, на практике могут
реализоваться оба случая, указанные в § 2.4.
Из формул (2.6.1) и (2.6.2) также следует, что при малых е и а абсолютные
значения корней !3 и !4, действительно, не превосходят постоянной с.
На основании предыдущего многочлен Ф (!) можно представить в виде
Ф (!) = - 2а, (!, - !)(!- !i) [(! - p)2+q2], (2.6.4)
где q2 в случае комплексных !3 и !4 будет величиной положительной, а в
случае всех действительных корней - отрицательной.
Перед тем как приступить к отысканию корней многочлена F (г)), заметим,
что если при а = 0 этот маогочлен допускает корень б, то он будет иметь
также корень, равный -б. Отсюда следует, что сумма корней, лежащих на
отрезке [-1,1], будет обращаться в нуль вместе с а. Поэтому корень = б*
можно искать в виде следующего ряда:
б* = - (б + со^ + с2а2у2 + с3ау3 + . . .), (2.6.5)
где Yu Ya. Ya - функции а, е, б.
Подставляя (2.6.5) в F (г]) и приравнивая нулю члены с одинаковыми
степенями с и о, мы для определения Yu Ya и y3 получим такие уравнения:
"2Yi - 2/m (1 - б2) = 0,1 2а22у2 + a|v? - 2/т. (1 - Зб2) Yi = 0,
"г-уз-2"i (1 - 2б2) Yi = 0.
Если теперь сюда вместо ах и а2 подставить их значения из (2.5.4) и
(2.5.5), то окончательно будем иметь
б* = _ б - 2ео (1 - б2) [1 - 2еоб - е2 (3 - 4б2 + е2)\
(2.6.6)
Итак, два корня, % и т]2, нам известны. Для того чтобы найти остальные
корни, воспользуемся теоремой
02 ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. II
Виета, согласно которой
(2.6.7)
Пусть
p' = 4-(Tfo + Tl*)" 6' = %Т14, д'2 = р'2 -б'. (2.6.8)
Тогда из уравнений (2.6.7) при помощи (2.5.4) - (2.5.6) найдем
р' = - {1 + 48" (1 - *2) (1 - 62) (1 - 262)}, (2.6.9)
6' = - {! + 4е2 (! - б2) -Ь W (! - б2) -
-8е3сгб (1 - б2) + е4 [(4 -1662 +12б4) -
- 4е2 (1 - б4)]}. (2.6.10)
Поскольку б' •< 0, то из (2.6.8) следует д'2 > 0 и многочлен F (т)), как
легко видеть, теперь можно представить в форме
Р Сп) - - 2а!С2 (б - т]) (т) - б*) [д'2 - (т] - р')2].
Таким образом, мы выразили все корни многочленов Ф (1) и F (т)) через
элементы а, е, б и представили эти многочлены в формах, которые удобны
для обращения квадратур.
§ 2.7. Качественная картина Из формул (2.4.1) легко находим
(2.6.11)
х2 + У2 I (Z -ест)2 ,
12 + C2~t- 12 ~
х2 + У2 (z - С0)2 .
С2 (1-Г]2) С2Г]2
(2.7.1)
(2.7.2)
cos w sm w
(2.7.3)
§ 2.7]
КАЧЕСТВЕННАЯ КАРТИНА
63
Равенства (2.7.1) и (2.7.2) показывают, что уравнению | = const
соответствует семейство сжатых эллипсоидов вращения, а уравнение т] =
const определяет семейство однополостных гиперболоидов вращения. Ось
вращения эллипсоидов и гиперболоидов совпадает с осью вращения
Рис. 12. Сечение области движе- Рис. 13. Область движения
ния спутника меридианной пло- спутника,
скостью.
Земли, а их центры лежат в точке пересечения этой оса с плоскостью z =
со. Далее, формула (2.7.3) при т = const представляет собой уравнение
плоскости, проходящей через ось вращения Земли.
Согласно (2.4.10), (2.4.11) и (2.5.1) переменные ? и т] изменяются в
следующих пределах:
а(1 - е)<^а(1+е), (2.7.4)
6*<П<С6, (2.7.5)
где б* - наименьший корень F (т]) из отрезка [-1, +1].
Отсюда заключаем, что область пространства, где происходит движение
спутника, представляет собой тороидальное тело, ограниченное двумя
эллипсоидами ? = а (1 - е) и ? = а (1 + е), гиперболоидом г) = б (в
верхнем полупространстве) и гиперболоидом г) = б* (в нижнем
полупространстве). Сечение этой области меридианной плоскостью показано
на рис. 12. Пространственная картина получается путем вращения плоской
картины вокруг оси Oz (рис. 13).
64 ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. II
Большая и малая полуоси внутреннего ограничивающего эллипсоида
соответственно равны
|/а2(1-е)2-(-с2 и а{ 1 - е),
