Теория движения искусственных спутников земли - Аксенов Е.П.
Скачать (прямая ссылка):
искать другие орбиты - промежуточные орбиты,.которые более близки к
истинной орбите небесного тела, нежели кеплеров эллипс. К такому случаю
относится Луна, при построении теории движения которой использовались
специальные промежуточные орбиты.
102 ФОРМУЛЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. III
Что касается задачи о движении близких искусственных спутников, то с
точки зрения возмущений она занимает как бы промежуточное положение между
задачей
о движении планет и задачей о движении Луны. Поэтому здесь можно
использовать как методы, разработанные в теории планет, так и методы,
основанные на применении промежуточных орбит. В этом отношении эйлерова
орбита, по-видимому, имеет ряд преимуществ по сравнению с другими
промежуточными орбитами *). Она наиболее полно учитывает основные
возмущающие факторы и построена в результате математически строгого
решения задачи. Она и будет положена нами в основу теории движения
искусственных спутников.
§ 3.16. Вековые неравенства
Из § 3.14 и 3.15 следует, что величины
* •
п = п0 (1 -f- X), Q = (aw, со = vn (3.16.1)
являются соответственно средним аномалистическим движением, средним
движением узла и средним движением перигея. Эти величины являются важными
характеристиками орбиты, поскольку они определяют движение спутника на
больших промежутках времени. Интересно поэтому сравнить теоретические
значения этих характеристик с результатами, полученными из наблюдений.
В качестве примера возьмем пять спутников, средние элементы п, е, i
которых приводятся в табл. 6 [4].
Таблица 6
Элементы орбиты
NiJVs Спутник /град) \ сут ' а (км) е г
1 1958 р2 3862,640 8679,648 0,190000 34°,2500
2 1962 ае 3285,400 9670,222 0,242241 44,7995
3 1962 Ре 2801,146 10755,537 0,284224 47,5101
4 1961 о 4993,199 7316,376 0,008022 66,8157
5 1961 adi 3123,598 10003,817 0,012092 95,8564
*) О промежуточных орбитах в теории движения искусственных спутников
Земли см. книгу [ЗД.
§ 3.17] РАЗЛОЖЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ 103
Величины |л и v, которые входят в (3.16.1), вычислялись по формулам
(3.9.3) и (3.7.15). Для с и а были приняты численные значения, которые
приводятся в § 1.9.
Таблица 7
Значения Й
ш Набл. Вычисл. о-с
1 -3?01507 -3?01356 -0°00151
2 -1,85885 -1,85829 -0,00056
3 -1,27912 -1,27848 -0,00064
4 -2,42478 -2,42429 -0,00049
5 +0,21039 +0,21033 +0,00006
Таблица 8
Значения ю
№№ Набл. Вычисл. о-с
1 4°40462 4°40383 0°00079
2 1,98617 1,98590 0,00027
3 1,21210 1,21173 0,00037
4 -0,69576 -0,69707 0,00131
5 -0,97693 0,97743 0,00050
Результаты вычислений приведены в табл. 7 и. 8.
Там же даны Я и со, полученные из наблюдений, и соответствующие невязки.
Максимальные невязки составляют несколько тысячных долей градуса, что
указывает на то, что промежуточная орбита действительно учитывает
существенную часть возмущений в движении спутника.
§ 3.17. Разложение эллиптических функций в тригонометрические ряды
В § 3.2 и 3.3 мы видели, что координаты г) и ? выражаются через
переменную т посредством эллиптических функций. Действительно, согласно'
(3.2.9) и (3.3.9)
0 = am (Zjf кг), 1|з = am (1г, к2), (3.17.1)
104
ФОРМУЛЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ [гл. ш
где
(т + с3), 12 = а2 (т + с4), (3.17.2)
а координаты т] и ? зависят от sin 0 и cos я|) или от sn 1г и сп 12.
Воспользуемся теперь формулами (3.1.4)-(3.1.7) и разложим 0, я|), sin 0 и
cos я|) в тригонометрические ряды, сохраняя при этом члены до s4
включительно.
Прежде всего мы имеем
"1=-у{1 + 4-*!+ж^+ •••}- (3-17-3^
4i = ТВ" I1 +'2'^+'• • • } • (3-17-4)
Поэтому формула (3.1.7) дает
0 = w-j-A-(l-f-^-) sin 2и + sin 4u -f . . ., (3.17.5)
где
" = -ё7"-Й7<т+7>>- <зл7-в>
Последний член в формуле (3.17.5) меньше 0",001 и его нужно отбросить.
Следовательно,
0 = u + -?L(l+-^-)sin2U. (3.17.7)
Аналогичным образом находим
t = -l/+.-|-(l+A)sm2i;) (3.17.8)
где
"-ж-=Ш{т+с')- <ЗЛ7-9)
Подставляя формулы (3.17.3)и (3.17.4) в (3.1.4) и (3.1.5) и пренебрегая
членами меньше 0",01, получим
sin0 = (l sinu-f-^g- sin3u, (3.17.10)
cosi|)=(l-cosy + -j|-cos3v. (3.17.11)
Установим связь между переменными и и и. Для этого исключим из (3.17.6) и
(3.17.9) переменную т. Тогда
§ 3.18]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ОРБИТЫ
105
найдем
Но при помощи (3.4.4) и (3.4.5) и равенства (3.17.3) имеем
Зная разложения для sin 0 и cos г|5, легко найти тригонометрические ряды
для Т] и с!\. При этом координата Т] будет периодической функцией и, а |
- периодической функцией v с периодом 2л.
Используя далее разложения (3.17.8) и (3.17.10),
а ? (u, v) есть периодическая функция с периодом 2я относительно каждой
из переменных и и v.
Таким образом, можно получить другую совокупность формул, описывающих
промежуточную орбиту. Существенным здесь будет следующее: прямоугольные
координаты спутника будут периодическими функциями с периодом 2п
относительно переменных и, v и Q. А эти переменные суть линейные функции
т:
и = т1 т + и0, v = т2х + и', Q = т3т + Q', (3.17.15) где
а и', v', Q' - постоянные. Следовательно, промежуточное движение является
